ch5-双曲型方程差分方法(1)(精品)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第五章,双曲型方程的差分方程,第一节,一阶线性常系数双曲型方程,采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：,第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂,的双曲型方程（组）的基础。,第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双,曲方程在数值计算中特有的性质和现象。,第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以,用来检验数值方法的效果和功能。,第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）,以及非线性双曲方程领域。,几种典型的差分格式,迎风格式,Lax-Friedrichs,格式,Lax-Wendroff,格式,Courant-Friedrichs-Lewy,条件,利用特征线构造差分格式,隐式格式,蛙跳格式,迎风格式的思想,:,在对微商进行近似的时候,关于空间导数,用在特征线方向一侧的单边差商来代替，,于是有如下格式：,1,、迎风格式,迎风格式的性质：,1,、满足相容性，一阶精度，,截断误差为：,2,、条件稳定的，稳定性条件为：,3,、条件收敛的，收敛条件为：,所以此格式绝对不稳定,.,2,、,Lax-Friedrichs,格式,Lax-Friedrichs,格式的性质：,1,、满足相容性，一阶精度，,截断误差为：,2,、条件稳定的，稳定性条件为：,3,、条件收敛的，收敛条件为：,两种格式的比较,:,1,、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中,L-F,格式可以不考虑对应方程的特征线的走向,而迎风格式却要考虑其走向,.,注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向，,但多了绝对值的计算。,2,、比较截断误差,L-F,格式的右端项：,3,、,Lax-Wendroff,格式,1960,年,Lax,和,Wendroff,构造了一个二阶精度的二层格式。,构造的思想是利用,Taylor,展开式及方程本身。,代入上面的式子,于是有,得到：,略去高阶项得到差分方程：,Lax-Wendroff,格式,利用,Fourier,方法分析稳定性，得增长因子为：,Lax-Wendroff,格式的性质：,1,、满足相容性，二阶精度，,截断误差为：,2,、条件稳定的，稳定性条件为：,3,、条件收敛的，收敛条件为：,4,、,Courant-Friedrichs-Lewy,条件,由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域,的关系导出的差分方程收敛的必要条件,注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域,注、,Courant,条件是保证稳定性（收敛性）,的必要条件，而非充分条件。,例如：针对一维对流方程的差分格式的,CFL,条件（,a,0,）,右偏格式,：,显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，,不满足,CFL,条件，所以格式不稳定。,左偏格式（迎风格式）,：,实际上 也是稳定性的充分条件,中心格式：,格式不稳定,所以,CFL,条件不是稳定性的充分条件,Lax-Wendroff,格式：,实际上 也是稳定性的充分条件,5,、利用特征线构造差分格式,Beam-Warming,格式,6,、隐式格式,隐式中心,隐式中心格式的性质：,1,、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，,截断误差为：,2,、无条件稳定,3,、无条件收敛,注、计算上需要人工边界条件,Grank-Nicolson,格式的性质：,1,、满足相容性，二阶精度，,截断误差为：,2,、无条件稳定,3,、无条件收敛,注、计算上需要人工边界条件,7,、蛙跳（,leap,frog,）格式,分析稳定性的,Fourier,方法适用于二层格式，,所以 把 三层格式化为二层格式,注：容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以,Neumann,条件是满足稳定性的必要条件。,蛙跳格式的性质：,1,、满足相容性，二阶精度，,截断误差为：,2,、条件稳定的，稳定性条件为：,3,、条件收敛的，收敛条件为：,注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。,三层格式，需要二阶的起步格式，如,Lax-Wendroff,格式,