信号与系统 傅立叶变换

信号与系统,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,五邑大学信息学院,信号与系统,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3,傅立叶变换,傅里叶变换的引出,傅里叶变换的表示,傅里叶变换的物理意义,傅里叶变换存在的条件,典型信号的傅里叶变换,从傅立叶级数到傅立叶变换,对周期信号 ，如果令,T,趋于无穷大，周期信号因此变为非周期信号，即当 时，有,1,.,引出,：周期信号,非周期信号,连续谱，幅度无限小；,离散谱,再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，,但相对大小仍有区别。,0,谱系数,0,谱线间隔,引入频谱密度函数表示各频谱分量。,（1）,频谱密度函数,简称,频谱函数,单位频带上的频谱值,当 时,有界函数,连续,频谱密度函数的表示,2,反变换,由复指数形式的傅里叶级数,3,傅里叶变换对,简写,二傅里叶变换的表示,欧拉公式,实部,虚部,模,相位,实部,虚部,偶,函数,为实函数，只有 ，相位,关于 的,偶,对称函数,奇,函数,为虚函数，只有 ，相位,关于 的,奇,对称函数,关于 的,偶,对称函数,关于 的,奇,对称函数,三傅里叶变换的物理意义,实,函数,欧拉,公式,积分为,0,解释,求和 振幅 正弦信号,与傅里叶级数的系数对比,(a),是一个,密度函数,的概念,;,(b),是一个,连续谱,，包含了,从零到无限高频,的所有频,率分量,;,(c),各频率分量的频率不成谐波关系。,四傅里叶变换存在的条件,所有能量信号均满足此条件。,当引入 函数的概念后，允许作傅里叶变换的函数类型大大扩展了。,一般来说，非周期信号的能量是有限的，而平均功率等于零，所以它只有能量频谱而无功率频谱，对非周期信号，有,非周期信号的能量谱,上式称为,非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式,，该式说明在时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。,即,定义,函数为非周期信号的,能量密度谱,，简称为,能量谱,。,典型信号的傅立叶变换,单,/,双边指数信号,符号函数,矩形脉冲,三角脉冲信号,高斯脉冲信号,单位冲激信号,直流信号,单,位阶跃信号,1,矩形脉冲信号,1,矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,频谱图,有效频宽：,幅度频谱,相位频谱,2,单边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,一般认为幅度谱下降到,0.1,倍最大值时的频率宽度为,信号的有效带宽,，所以单边指数信号的有效带宽是,同样地，,信号的脉冲宽度和有效带宽,也是,成反比,。,3,、双边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到,0.1,倍最大值时的频率宽度为,信号的有效带宽,，则双边指数信号的有效带宽是,典型信号的傅立叶变换,同样地，信号的,脉冲宽度,和,有效带宽,也是成,反比,的。,4,符号函数,t,e,a,-,t,e,a,-,处理方法：,构造一个双边函数,不满足绝对可积条件,频谱图,符号函数很类似于直流信号，但符号函数的,平均值为零,，所以符号函数,不,含直流成分。,符号函数只在,一个不连续点处有跳变,，所以符号函数含有各种频率分量，且大部分频谱集中在低频附近。,5,、三角形脉冲信号,令,得,傅立叶变换为,6,、高斯脉冲信号,、,其傅里叶变换为：,7,、单位冲激信号,根据定义，单位冲激信号的频谱为,上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。若,0,，且,E,1,，这时矩形脉冲就变成 了，其对应频谱必为常数,1,。,单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为,1,。,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。,因此这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。,8,、常数函数（直流信号）,直流信号不满足绝对可积条件,。,当,矩形脉冲,宽度,时，矩形脉冲,直流信号,时，矩形脉冲信号的,频谱,直流信号,的,频谱,可采用取极限的方法导出其傅立叶变换,矩形脉冲的傅立叶变换为,即,所以有,8,、常数函数（直流信号）,从,频谱的角度理解傅立叶变换对 ，因为直流信号只包含 的频率成分，而不含其它频率成分,因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，所以直流信号在 处的谱密度是无穷大。,因为,所以容易求得单位阶跃信号的傅立叶变换为,9,、单位阶跃信号,单位阶跃函数的频谱在 点存在一个冲激函数，因单位阶跃函数含有直流分量。,典型信号的傅立叶变换,由于单位阶跃函数也不是纯直流信号，它在 点有跳变，因此在频谱中还出现其它频率分量。,小结,知道了 ，就可以确定 。,所以 是信号的另一种表示，是在,频率域,的表示。它表示信号在不同频率处的强度和相位。,信号在时域宽度越宽，频谱宽度就,越,窄。,时域变化越突然，包含的频谱成分越多。在高频处 越大,两个一般性的结论,作 业（,13-05-07,）,P130 4-4,P131 4-5,，,