函数的单调性与曲线的凹凸性

单击此处编辑母版标题样式,3.4,函数的单调性与曲线的,凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的,凹凸性,与拐点,一、函数单调性的判定法,函数,y,=,f,(,x,),的图象有时上升,有时下降,.,如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,f,(,x,),0,f,(,x,),0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调减少,由拉格朗日中值公式,有,f,(,x,2,),f,(,x,1,),=,f,(,x,)(,x,2,x,1,)(,x,1,x,0,x,2,x,1,0,所以,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,)(,x,2,x,1,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),这就证明了函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内单调增加,证明,只证,(1),在,(,a,b,),内任取两点,x,1,x,2,(,x,1,0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,所以函数,y,x,sin,x,在,0,2,p,上的单调增加,定理,1(,函数单调性的判定法,),设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,(1),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调增加,(2),如果在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上单调减少,因为在,(,0),内,y,0,所以函数,y,e,x,x,1,在,0,),上单调增加,解,函数,y,e,x,x,1,的定义域为,(,),y,e,x,1,例,2,讨论函数,y,e,x,x,1,的单调性,解,函数的定义域为,(,),所以函数在,0,),上单调增加,因为,x,0,时,y,0,所以函数在,(,0,上单调减少,因为,x,0,时,y,0,因此函数,y,x,3,在区间,(,0,及,0,),内都是单调增加的,从而函数在整个定义域,(,),内是单调增加的,因为当,x,1,时,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在,1,),上,f,(,x,),单调增加,例,6,证明,因此当,x,1,时,f,(,x,),f,(1),=,0,即,二、曲线的,凹凸性,与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,曲,线,的,凹凸性,定义,设,f,(,x,),在区间,I,上连续,如果对,I,上任意两点,x,1,x,2,恒有,那么称,f,(,x,),在,I,上的图形是凹的,那么称,f,(,x,),在,I,上的图形是凸的,如果恒有,观察与思考,观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系,.,定理,2,(,曲线凹凸性的判定法,),设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,例,7,判断曲线,y,ln,x,的凹凸性,因为在函数,y,ln,x,的定义域,(0,),内,y,0,所以曲线,y,ln,x,是凸的,解,例,8,判断曲线,y,x,3,的凹凸性,解,y,3,x,2,y,6,x,由,y,0,得,x,0,.,因为当,x,0,时,y,0,时,y,0,所以曲线在,0,),内是凹的,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,在区间,(,),内曲线是凹的,因此曲线无拐点,例11,解,二阶导数无零点,;,当,x,0,时,二阶导数不存在,因为当,x,0,当,x,0,时,y,0,所以,点,(0,0),曲线的拐点,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,