1.2 直角三角形(2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.2,直角三角形,(2,课时,),a,a,b,c,c,粉红色的回忆,利用拼图来验证勾股定理：,美国第十七任总统的证法,b,a,c,b,a,c,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b, (a+b),2,=,c,2,+ 4ab/2,a,2,+2ab+b,2,=,c,2,+2ab,a,2,+b,2,=c,2,大,正方形的面积可以表示为 ；,也可以表示为,(a+b),2,c,2,+4ab/2,c,a,c,a,c,b,c,a, c,2,= 4ab/2 +(b-a),2,c,2,=2ab+b,2,-2ab+a,2,c,2,=a,2,+b,2,a,2,+b,2,=c,2,大,正方形的面积可以表示为 ；,也可以表示为,c,2,4ab/2+(b- a),2,四年一度的国际数学家大会于,2002,年,8,月,20,日在北京召开,，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,.,你了解吗?,学习目标,1,定理,:,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,定理,:,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。,定理,:,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。,判断下列命题的真假,并说明理由,:,两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,;,斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等,;,两直角边对应相等的两个直角三角形全等,;,开启 智慧,一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,.,设矩形的对角线,AC,与,BD,的交点为,O,，,那么,BO,是直角,ABC,中一条怎样的特殊线段？,它与,AC,有什么大小关系？,A,B,C,D,O,A,B,C,O,定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,ABC=90,，,OA=OC,AC=2BO,或,OA=OB=OC,学习目标,2,特殊的直角三角形的性质,:,1.,在直角三角形中,如果,有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,。,2.,在直角三角形中,如果,一条直角边等于斜边的一半,那么,它,所对的锐角等于,30,0,.,学习目标,3,互逆命题,逆命题,互逆定理,逆定理,如果,两个角是对顶角,，那么,这两个角相等,。,如果,两个角相等,，那么,这两个角是对顶角,。,三角形中,相等的边,所对的,角相等,。,三角形中,相等角,的所对的,边相等,。,直角三角形两条,直角边,的平方和等于,斜边,的平方。,如果一个三角形,两边,的平方和等于,第三边,的平方,那么这个三角形是直角三角形。,勾股定理：,勾股定理,逆定理,：,学习目标,4,A,C,B,D,30,0,特殊图形,:,C,B,A,D,E,3,2,你能求出,AD,和,AB,吗,?,C,B,A,D,E,探索,1:,BC,、,CD,、,AB,之间的关系？,探索,2,：,CD,与,AD,关系？,学习目标,5,从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，,横着比门框宽,4,尺,，,竖着比门框高,2,尺,。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。 你知道竹竿有多长吗？,请根据这一问题列出方程。（只列不解）,问 题 探 讨,三角形全等的判定,公理,:,三边对应相等的两个三角形全等（,SSS,）,.,公理,:,两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（,SAS,）,.,公理,:,两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（,ASA,）,.,推论,:,两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（,AAS,）,.,回顾,&,思考,1,想一想,:,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等,?,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,如果其中一边的所对的角是直角呢,?,如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等,.,请证明你的结论,.,命题的证明,我能行,1,命题,:,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,老师提示,:,举反例证明假命题千万不可忘记噢,!,证明,:,这是一个假命题,只要举一个反例即可,.,如图,:,A,B,C,A,B,C,A,B,C,(1),(2),(3),由图,(1),和图,(2),可知,这两个三角形全等,;,由图,(1),和图,(3),可知,这两个三角形不全等,;,因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,命题的证明,我能行,2,驶向,胜利的彼岸,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等,.,老师期望,:,你能写出它的证明过程吗,?,你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗,?,已知,:,如图,在,ABC,和,A,B,C,中, AC=AC , AB=AB, C=C=90,0,.,求证,:,ABCA,B,C,.,A,B,C,A,B,C,分析,:,要证明,ABCA,B,C,只要能满足公理,(SSS),(SAS),(ASA),和推论,(AAS),中的一个即可,.,由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等,.,驶向,胜利的彼岸,直角三角形全等的判定定理及其,三种语言,我能行,3,定理,:,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,(,斜边,直角边或,HL).,如图,在,ABC,和,A,B,C,中, C=C=90,0,AC=AC , AB=AB(,已知,),Rt,ABCRtA,B,C,(HL,),.,A,B,C,A,B,C,用,三角尺作角平分线,再过点,M,作,O,A,的垂线,如图,:,在已知,A,O,B,的,两边,O,A,O,B,上分别取点,M,N,使,O,M=,O,N;,过点,N,作,O,B,的垂线,两垂线交于点,P,那么射线,O,P,就是,A,O,B,的平分线,.,请你证明,OP,平分,AOB.,A,B,O,P,M,N,已知,:,如图,O,M=,O,N,PM,O,M,PN,O,N.,求证,:A,O,P=B,O,P.,先把它,转化为一个纯数学问题,:,问 题 探 讨,如图,已知,ACB=BDA=90,0,要使,ABCBDA,还需要什么条件,?,把它们分别写出来,.,增加,AC=BD;,议一议,A,B,C,D,增加,BC=AD,;,增加,ABC=BAD ;,增加,CAB=DBA ;,你能分别写出它们的证明过程吗,?,若,AD,BC,相交于点,O,图中还有全等的三角形吗,?,O,你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗,?,你能分别写出它们的证明过程吗,?,问 题 探 讨,.,已知,:,如图,D,是,ABC,的,BC,边上的中点,DEAC,DF,AB,垂足分别为,E,F,且,DE=DF.,求证,:,ABC,是等腰三角形,.,D,B,C,A,F,E,.,已知,:,如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为,E,F,DE=BF.,求证,:,(1)AE=AF;,(2)ABCD.,B,C,A,E,D,F,四年一度的国际数学家大会于,2002,年,8,月,20,日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若,大正方形的面积为,20,，每个小直角三角形两条直角边的和是,6,，,求中间小正方形的面积。,拓展,:,若有一个矩形长为,5,宽为,4,请你把它,分割成,6,块,使得这,6,块拼成一个正方形,.,2,1,4,4,定理,1,直角三角形的两个锐角互余。,定理,2,在直角三角形中，两条直角,边的平方和等于斜边的平方。,。,(,逆命题,),定理,3,在直角三角形中，如果 一个,锐角等于,30,，那么它所对,的直角边等于斜边的一半。,。,(,逆命题,),定理,4,直角三角形斜边上的中线等,于斜边的一半,特殊图形,直角三角形的性质,课,后,小,结,A,B,C,D,F,E,已知：,ABC,，,AC,2,+BC,2,=AB,2,求证：,C=90,分析；构造一个直角三角形,计算,一天,小华随老师和同学去爬山,.,回到家,妈妈问,:,“,你们爬的山大约有多高？,”,小华说：,“,我也不知道，只是老师带领我们测得小山的坡度约为,30,，从山下到山顶沿直线大约要走,1000,米。,”,你能帮小华算出山的高度吗？,1000,米,？,30,大家一起练一练,如图，在高为米，坡角为,30,的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？,30,米,反过来怎么样,逆向,思维,命题,:,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,.,是真命题吗,?,如果是,请你证明它,.,心,动 不如行动,30,0,A,B,C,已知,:,如图,在,ABC,ACB=90,0,BC=AB/2.,求证,:A=30,0,.,ACB=90,0,CD=BC(,已知,),AB=AD,(,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,),又,BC=AB/2(,已知,),BC=BD/2(,作图,),AB=BD,(,等量代换,).,AB=BD=AD(,等式性质）,.,ABD,是等边三角形,(,等边三角形意义,),B=60,0,(,等边三角形意义,).,A=30,0,(,直角三角形两锐角互余,).,A,B,C,D,证明,:,延长,BC,至,D,使,CD=BC,连接,AD.,几何的,三种语言,回顾反思,这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数,(,30,0,),的根据之一,.,定理,:,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的,一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,.,在,ABC,中,ACB=90,0,BC=AB/2,(,已知,),A=30,0,(,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,).,A,B,C,30,0,成功者的摇篮,试一试,P14,1,1.,如图,(1):,四边形,ABCD,是一张,正方形,纸片,E,F,分别是,AB,CD,的中点,沿着过点,D,的折痕将,A,角翻折,使得,A,落在,EF,上,(,如图,(2),折痕交,AE,于点,G,那么,ADG,等于多少度,?,你能证明你的结论吗,?,D,A,C,B,E,F,D,A,C,B,E,F,(1),(2),G,A,成功者的摇篮,试一试,P14,1,D,A,C,B,E,F,(2),G,A,1,答,:ADG,等于,15,0,.,证明,:,DF=DC/2(,中点意义,),A,1,D=AD=CD,(,正方形各边都相等,),DF=A,1,D/2(,等量代换,).,DA,1,F=,30,0,(,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,).,又,ADEF,A,1,DA,=,DA,1,F=,30,0,(,两直线平行,内错角相等,).,ADG=A,1,DA/2=15,0,(,角平分线意义,).,30,0,再 来,矩形,ABCD,中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为,EF,展开后再折成如图所示,使点,A,落在,EF,上的点,A,处,求第二次折痕,BG,的长,.,A,B,C,E,D,G,A,F,3,6,回味无穷,直角三角形全等的判定定理,:,定理,:,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,(,斜边,直角边或,HL).,公理,:,三边对应相等的两个三角形全等（,SSS,）,.,公理,:,两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（,SAS,）,.,公理,:,两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（,ASA,）,.,推论,:,两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（,AAS,）,.,综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为,:,一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等,;,两边对应相等的两个直角三角形全等,;,切记,!,命题,:,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,即,(SSA),是一个假冒产品,!,小结 拓展,知识的升华,独立,作业,P,9,习题,1.5 1,2,题,.,祝你成功！,习题,1.5,独立作业,1,1.,已知,:,如图,D,是,ABC,的,BC,边上的中点,DEAC,DF,AB,垂足分别为,E,F,且,DE=DF.,求证,:,ABC,是等腰三角形,.,分析,:,要证明,ABC,是等腰三角形,就需要证明,AB=AC;,进而需要证明,BC,所在的,BDFCDE;,而,BDFCDE,的条件,:,从而需要证明,B=C;,BD=CD,DF=DE,均为已知,.,因此, ABC,是,等腰三角形可证,.,D,B,C,A,F,E,老师期望,:,请将证明过程规范化书写出来,.,习题,1.5,独立作业,2,驶向,胜利的彼岸,2.,已知,:,如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为,E,F,DE=BF.,求证,:,(1)AE=AF;(2)ABCD.,老师期望,:,请将证明过程规范化书写出来,.,B,C,A,E,D,F,分析,:,(1),要证明,AE=CF,由此,AE=CF,可证,.,需要证明内错角,A=C;,而由,ABFCDE,可得证,.,(2),要证明,ABCD,由,已知条件,AB=CD,DEAC,BFAC, DE=BF.,可证得,ABFCDE,从而可得,AF=CE.,