二式系数性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式系数的性质,湖南省临湘市一中 李君英,复习,1,。什么叫二项式定理？通项公式？,2,。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？,(,a,+,b,),1,1 1,(,a,+,b,),2,1 2 1,(,a,+,b,),3,1 3 3 1,(,a,+,b,),4,1 4 6 4 1,(,a,+,b,),5,1 5 10 10 5 1,(,a,+,b,),6,1 6 15 20 15 6 1,展开式的二项式系数,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1.,每行两端都是，与首末两端,“等距离”,的两个数相等,2.,每行除首末两数外,其它各数是上一行肩上两个数的和,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10,10,5 1,1 6 15 20 15 6 1,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,一,一 一,一 二 一,一 三 三 一,一 四 六 四 一,一 五 十 十 五 一,一 六 十五 二十 十五 六 一,这个表称为,杨辉三角,。在,详解九章算法,一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于,释锁,算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元,11,世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于,11,世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（,Blaise,Pascal,1623,年,1662,年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,第,5,行,1 5 5 1,第,0,行,1,杨辉,三角,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,15,20,10,10,6,4,1 5 5 1,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 1,1 6 15 6 1,1,1,1,1,15,20,10,10,6,4,1.,哪一项的二项式系数最大,?,2.,各项二项式系数的和有什么特点,?,3.,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和有什么关系,?,展开式的二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成,是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,（,1,）对称性,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,（,2,）增减性与最大值,由,：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。,可知，当 时，,（,2,）增减性与最大值,因此，,当,n,为偶数时,，中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,（,3,）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,当,n,是奇数时，中间两项的二项式系数 ，相等，且同时取得最大值。,(1),对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。,(2),增减性与最大值,(3),各二项式系数和,当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。,当,n,是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值 ；,二项式系数的性质,例,1,证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,证明：在展开式,中,令,a,=1,b,=-1,则得,即,即在 的展开式中，,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例,2,的展开式中第,6,项与第,7,项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项,解,:,的展开式中二项式系数最大的项为,设第,r,+1,项系数最大,则有,或,系数最大的项为,3.(,x,1,),9,的展开式中系数最大的项是 （）,(A),第五项,(B),第六项 （,C,）,第八项,(D),第九项,一层练习,4.(1,x,),13,的展开式中系数最小的项是 （）,(A),第六项,(B),第七项 （,C,）,第八项,(D),第九项,C,A,1.,（,1+,x,）,4,n,（,n,N,*,）,的展开式中，二项式系数最大的项是,_,第,2n+1,项,2.(,a,+,b,),10,的各二项式系数的最大值是,.,5.,一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有,20,个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （）,(A)20 (B)2,19,（,C,）,2,20,(D)2,20,1,D,4,或,5,6.,若 与 同时有最大值,则,m,=_,7.,计算,2,9,=512,8.,（,1-2,x,）,n,（,n,N,*,）,的展开式中,各系数的和是（）,A.1 B.2,n,C.-1 D.1,或,-1,D,9.(1-5x+2x,2,),7,的展开式中所有项系数和是,.,-2,7,10.(1+,x,)+(1+,x,),2,+,+(1+,x,),n,的展开式的各项系数和是（）,A,.2,n+1,-2,B,.2,n+1,-1,C,.2,n+1,D,.2,n+1,+1,A,4.,已知 的展开式中只有第,10,项,系数最大，求第五项。,解：依题意，为偶数，且,变式,：若将“只有第,10,项”改为“第,10,项”呢？,5.,已知,a,b,N,，,m,n,Z,，,且,2,m,+,n,=0,，,如果二项式,(,ax,m,+,bx,n,),12,的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求,a,:,b,的取值范围。,解：,令,m,(12,r,)+,nr,=0,，将,n,=2,m,代入，解得,r,=4,故,T,5,为常数项，且系数最大。,例,4,若,求,:,(1),令,x,=0,则,a,0,=-1,解析,:,令,x,=1,则,例,4,若,求,:,(2),令,x,=-1,则,又,解析,:,例,4,若,求,:,解析,:,(3),由,得,-2,-1094,1093,二层练习,1.,已知,则,注,:,二项式定理是一个,恒等式,对待恒等式通常有两种思路,:,一是利用,恒等定理,(,两个多项式恒等,则对应项系数分别相等,);,一是,赋值,事实上,二项式定理结合恒等与赋值两条思路可使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解,2.,若多项式,则,-10,3.,如果 的展开式中各项系数之和为,128,，则展开式中的 系数是,_,21,方法归纳,1.,求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n,为奇数时,中间两项的二项式系数最大,;,n,为偶数时,中间一项的二项式系数最大,2.,求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正,、,负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得,.,3.,求系数和的基本思路利用恒等式的意义,采用,赋值法,进行求,解,.,一般地,对于多项式,它的各项的系数和为,奇数项的系数和为,偶数项的系数和为,课堂小结,（,1,）二项式系数的三个性质,（,2,）数学思想：函数思想,a,单调性；,b,图象；,c,最值。,（,3,）数学方法：赋值法、递推法,研究题：,若 则,展开式中最大,的项是哪一项,?,其值是多少,?,解：设最大项为 ，则：,即,则,展开式中最大项为,第,0,行,1,1,2,5,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和,;,这就是著名的,斐波那契数列,杨辉,三角,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,将杨辉三角中的每一个数 都换成分数,，,就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形,.,从莱布尼茨三角形可以看出,其中,x=r,1,令,试化简,a,n,