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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.2.2,用样本的数字特征估计总体的数字特征,善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，,勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路,!,主备,人：王朝远 张洪华,审,核人：牟必继,【,复习引入,】,1,、频率分布直方图,2,、频率分布折线图,3,、总体密度曲线,4,、茎叶图,我们学习了用图、表来组织数据，以及通过,图、表提供的的信息，用,样本的频率分布,估计,总,体的分布,.,为了更好的把握总体的规律，还需要通过,样本的数据,对,总体的数字特征,进行研究。,探究,1,：,某学校高一甲班和高一乙班各有,49,名学生，两班,在一次数学测试中的成绩统计如下：,班级,平均分,众数,中位数,标准差,甲班,79,70,87,19.8,乙班,79,70,79,5.2,【,探究新知,】,（,1,）请你对下面的一段话给予简要分析：,甲班的小刚对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分,79,分，得,70,分的人最多，我得了,85,分，在班里算是上游了！”,（,2,）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要,分析，并提出建议,解,：（,1,）,甲班,49,名学生数学成绩的中位数是,87,，则,85,分排在全班第,25,名之后，从位次上看应该属于中游但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了,85,分，说明他对这段的学习内容掌握较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游；,（,2,）甲班成绩的中位数是,87,分，说明高于,87,分的人数占一半以上，而平均分为,79,分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助,乙班的中位数和平均数都是,79,分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学生优异的也少，建议采取措施提高优秀率,班级,平均分,众数,中位数,标准差,甲班,79,70,87,19.8,乙班,79,70,79,5.2,名称,定义,特征,众数,一组数据中出现,次数最多的数,（,1,）反映了数据的集中趋势；,（,2,）只能表达样本数据很少的一部分信,息，无法客观反映总体特征,中位数,一组数据按大小依次排列，中间位置的一个数（或中间两个数的平均数）,（,1,）反映了数据的集中趋势；,（,2,）不受少数极端值的影响，但对极端,值不敏感,平均数,一组数据的和与这组数据的个数的商,（,1,）反映了数据的平均水平；,（,2,）反映出更多的关于样本数据全体的,信息；,（,3,）受少端值的影响较大，任何一个数,据的改变都会引起平均数的改变,1,、众数、中位数、平均数,练习：,平均数,中位数,众数,他们分别是多少？,月均用水量,/t,频率,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5,O,探究,2,：,下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布,直方图，,如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、,平均数？,月均用水量,/t,频率,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5,O,取最高矩形,中点的横坐标,2.25,作为众数,.,（,1,）你认为众数应在哪个小矩形内？,由此估计总体的众数是什么？,（,2,）直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是,:,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,.,中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此,估计总体的中位数是什么？,0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,，,0.010.5=0.02,，,中位数是,2.02.,月均用水量,/t,频率,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5,O,（,3,）平均数是频率分布直方图的“重心”，,由此估计总体平均数为多少？,月均用水量,/t,频率,组距,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5,O,平均数的估值,=,频率分布直方图中,每个,小矩形的面积,乘以,小矩形底边中点的横坐标,之和,0.250.04,+,0.750.08,+,1.250.15,+,1.750.22,+,2.250.25,+,2.750.14,+,3.250.06,+,3.750.04,+,4.250.02=2.02,（,t,）,.,（,4,）从居民月均用水量样本数据可知，该样本,的众数是,2.3,，中位数是,2.0,，平均数是,1.973,，这与我们从样本频率分布直方图得,出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？,这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直,观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到,的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关,.,因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们,可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由,此估计总体特征,.,归纳,比较：三种数字特征的优缺点,1.,众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征,.,如上例中众数是,2.25t,它告诉我们,月均用水量为,2.25t,的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少。,2.,中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为,10t,，那么它所占频率为,0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。,3.,由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。,探究,3,：,在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各,射击,10,次，每次命中的环数如下：,甲：,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙：,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,如果你是教练，你如何对这次射击作出评价,?,【,探究新知,】,两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有,什么差异吗,?,作出两人成绩的频率分布条形图，可以看出,还是有差异的,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（甲）,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（乙）,甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩,相对集中，比较稳定,.,甲的环数极差,=10-4=,6,，乙的环数极差,=9-5=,4,.,它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，,与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息,.,显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们,可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略,.,因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据,.,例如,:,在作统计图表时提到过的,极差,.,考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量,是,标准差,标准差,是样本数据到平均数的一种平均距,离，一般用,S,表示,由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通,常改用如下公式来计算,标准差,所谓“,平均距离,”，其含义可作如下理解：,3,、标准差与方差,假设样本数据,x,1,，,x,2,，,，,x,n,的平均数为 ，,则标准差的计算公式是：,（,1,）标准差：,（,2,）方差,用来描述样本数据的离散程度,.,方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差,特别的,，一个容量为,2,的样本：,x,1,，,x,2,(,x,1,S,乙,甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。,标准差的取值范围是,标准差越大离散程度越大，数据较分散；,标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围；,S=0,，标准差为,0,的样本数据都相等,.,例,1(P76),、画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,；,（,2,）,4,，,4,，,4,，,5,，,5,，,5,，,6,，,6,，,6,；,（,3,）,3,，,3,，,4,，,4,，,5,，,6,，,6,，,7,，,7,；,（,4,）,2,，,2,，,2,，,2,，,5,，,8,，,8,，,8,，,8,。,例,2(p77),、甲乙两人同时生产内径为,25.40mm,的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出,20,件，量得其内径尺寸如下（单位：,mm),甲,乙,从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？,25.46 25.32 25.45 25.39 25.36,25.34 25.42 25.45 25.38 25.42,25.39 25.43 25.39 25.40 25.44,25.40 25.42 25.35 25.41 25.39,25.40 25.43 25.44 25.48,25.48,25.47 25.49,25.49,25.36 25.34,25.33 25.43,25.43,25.32 25.47,25.31 25.32,25.32,25.32,25.48,品种,第一年,第二年,第三年,第四年,第五年,第六年,甲,900,920,900,850,910,920,乙,890,960,950,850,860,890,解,:,依题意计算可得,x,1,=900 x,2,=900,s,1,23.8 s,2,42.6,甲乙两种水稻,6,年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定,.,练,1.,农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续,6,年的年平均产量如下（单位：,500g,）：,那种水稻的产量比较稳定？,若平均数相差不大或则相等，则需比较标准差，若平均数相差很大，则可以不计算标准差,练习：,（,1,）校园歌手大赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：,89 90 95 93 94 93,去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差,分别为（）,A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8,B,（,3,）若样本,1+X,1,，,1+X,2,，,1+X,3,，,，,1+X,n,的平均数是,10,，,方差为,2,，则对于样本,2+X,1,，,2+X,2,，,2+X,n,，下,列结论正确的是（）,A.,平均数为,10,，方差为,2 B.,平均数为,11,，方差为,3,C.,平均数为,11,，方差为,2 D.,平均数为,12,，方差为,4,C,（,2,）某学生在一次考试中,语文、数学、英语三门学科的平均成,绩是,80,分，物理、化学两门学科的平均成绩为,85,分，则该,学生这五门学科的平均成绩是,_,分,.,82,（,4,）若,X,1,，,X,2,，,X,3,，,，,X,20,，这,20,个数据的平均数为,X,，,方差为,0.20,，则,X,1,，,X,2,，,X,3,，,，,X,20,，,X,这,21,个数据,的方差约为,_,.,4/21,（,5,）数据,x,1,，,x,2,，,，,x,8,平均数为,6,，标准差为,2,，则数据,2,x,1,-6,，,2,x,2,-6,，,，,2,x,8,-6,的平均数为,_,，方差为,_.,6,16,品种,第一年,第二年,第三年,第四年,第五年,第六年,甲,900,920,900,850,910,920,乙,890,960,950,850,860,890,解,:,依题意计算可得,x,1,=900 x,2,=900,s,1,23.8 s,2,42.6,甲乙两种水稻,6,年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定,.,练,1.,农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中
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