抽样与抽样分布概论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,4,章 抽样与抽样分布,4.1三种不,同,同性质,的,的分布,4.1,.,.1总体分,布,布,4.1,.,.2样本分,布,布,4.1,.,.3抽样分,布,布,总体中,各,各单位,的,的观测,值,值所形,成,成的相,对,对频数,分,分布,。,。,分布通,常,常是未,知,知的,可以假,定,定它服,从,从某种,分,分布,4.1,.,.1总体分,布,布(populationdistribution,),),总体,从总体,中,中抽取,一,一个容,量,量为的样本，,由,由这,个,个观测值,形,形成的相对频数分,布,布，称,为,为样本,分,分布，,也,也称经验分,布,布。,当样本,容,容量n逐渐增,大,大时，,样,样本分,布,布逐渐,接,接近总,体,体的分,布,布,4.1,.,.2样本分,布,布(sampledistribution),样本,4.1,.,.3抽样分,布,布(SamplingDistribution),抽样分,布,布的形,成,成过程(samplingdistribution),总体,计算样本统计量,如：均值、比例、方差等。,样本,4.2大数定,律,律与中,心,心极限,定,定理,4.2,.,.1大数定,律,律,1.独立同,分,分布大,数,数定律,2.伯努利,大,大数定,律,律,4.2,.,.2中心极,限,限定理,独立同,分,分布大数定,律,律,设独立随机变,量,量服从同,一,一分布,，,，且存,在,在数学,期,期望和方差,，,，对,于,于任意,给,给定的,有,个别现,象,象受到,偶,偶然因,素,素的影,响,响，对,总,总体的,大,大量观,察,察后进,行,行平均,，,，能使,偶,偶然因,素,素的影,响,响相互,抵,抵消，,样,样本平,均,均数会,稳,稳定在,附,附近，,为,为样本,平,平均数,估,估计总,体,体均值,提,提供理,论,论依据,。,。,伯努利大,数,数定律,在独立,试,试验序,列,列中，,是,是,事,事件,在,在,次,次试验,中,中发生,的,的次数,，,，是,事,事件,发,发生,的,的概率,，,，对于,任,任意给,定,定的,有,当多次,重,重复观,察,察某个,现,现象时,，,，该现,象,象发生,的,的频率,与,与该现,象,象发证,的,的概率,之,之间的,差,差距是,非,非常小,的,的，是,用,用频率,去,去代替,概,概率提,供,供理论,依,依据。,4.2,.,.2中心极,限,限定理（Central Limit Theorem）,设总体,均,均值为,，,，,且,且存在,有,有限方,差,差,，,，从中,抽,抽取样,本,本容量,为,为n的样本,。,。当样,本,本容量,足,足够大,时,时,（n30），,样本平,均,均数,的,的抽,样,样分布,近,近似地,服,服从正,态,态分布,，,，这就,是,是著名,的,的中心极,限,限定理。,4.3常用抽,样,样分布,及,及其特,点,点,4.3,.,.1Z分布及,其,其特点,4.3,.,.2t分布及,其,其特点,4.3,.,.3分布及,其,其特点,4.3,.,.4F分布及,其,其特点,4.3,.,.1Z分布及,其,其特点,当连续型,随,随机变,量,量X的密度,函,函数为,时，称X服从正,态,态分布，有时也,称,称X为正态,随,随机变,量,量。,设,则Z是一个,服,服从标,准,准正态,分,分布的连续型随机变,量,量，其密度函,数,数为,Z分布及,其,其特点,E(z,),)=0D,(,(z),=,=1,1、z分布以Y轴为中,心,心，左,右,右对称,2、服从,标,标准正,态,态分布,的,的随机,变,变量Z的概率,，,，与一,般,般的正,态,态随机,变,变量原,理,理相同,。,。,标准正,态,态分布概率密,度,度函数,图,图,4.3,.,.2t分布及,其,其特点,若随机,变,变量，随机,变,变量，且随机,变,变量X与Y相互独,立,立，则,随,随机变,量,量服从自,由,由度为,的,的t分布，,记,记为,其密度,函,函数为,t分布及,其,其特点,E(t,),)=0D(t)=n/(n-2,),),(,(n2),1、t分布是,对,对称分,布,布，均,值,值为0,2、当自,由,由度n，方,差,差极限,为,为1,t分布的,形,形状和,自,自由度n有关系,，,，自由,度,度越小,，,，t分布曲,线,线较为,扁,扁平，,与,与标准,正,正态分,布,布差异,越,越大；,自,自由度,越,越大，t分布曲,线,线与标,准,准正态,分,分布曲,线,线的差,异,异逐渐,缩,缩小。,图4-2标准正,态,态分布,以,以及各,种,种自由,度,度的t分布的,密,密度函,数,数的曲,线,线,4.3,.,.3分布及,其,其特点,若随机,变,变量,独,独,立,立且同,为,为标准正,态,态分布，则它,们,们的平,方,方和,服,服从自,由,由度为n的,分,分布,，,，记为,。,。,其概率密,度,度函数,为,为：,分布及其特,点,点,E(x,),)=nD(x)=2n,自由度增大，,期,期望和,方,方差随,之,之增大,。,。,是一种,不,不对称,偏,偏峰分,布,布，值,域,域区间,（,（0，+）,随自由,度,度增大,，,，曲线,的,的最高,点,点逐渐,下,下移并,向,向右移,动,动，趋,于,于对称,。,。,图4-3不同自,由,由度的,分,分布,4.3,.,.4F分布及,其,其特点,若随机,变,变量,、,、,相,相互独,立,立，且,分,分别服,从,从自由,度,度为,、,、,的,的,分,分布，,则,则随机,变,变量,服,服从第,一,一自由,度,度为,，,，第,二,二自由,度,度为,的,的F分布，,记,记为,其密度,函,函数为,：,：,F分布及,其,其特点,E(F,),)=n2/(n2-2)D,(,(F),=,=2n,2,2(n1+n2-2),/,/n1(n2-2)2(n2-4),非对称,的,的正偏,分,分布，,值,值域（0，+）,F分布的,极,极限是,正,正态分,布,布，随,第,第一自,由,由度n1的增大,，,，分布,曲,曲线逐,渐,渐趋于,对,对称，,随,随两个,自,自由度,的,的增大,，,，分布,曲,曲线逐,渐,渐趋于,正,正态分,布,布。,图4-4不同自,由,由度的F分布,4.4常用统,计,计量的,抽,抽样分,布,布,4.4,.,.1样本均,值,值的抽,样,样分布,4.4,.,.2样本比,率,率的抽,样,样分布,在重复,选,选取容,量,量为n的样本,时,时，由,样,样本均,值,值的所,有,有可能,取,取值形,成,成的相,对,对频数分,布,布，一种理论概率分,布,布。,推断总,体,体均值的理论,基,基础,4.4,.,.1样本均,值,值的抽,样,样分布,样本均,值,值的抽样分,布,布(例题分,析,析),【例4-1】设一个,总,总体，,含,含有4个元素(个体)，即总,体,体单位,数,数N=4。4个个体,分,分别为X1=1，X2=2，X3=3，X4=4。从总,体,体中采,取,取重复,抽,抽样方,法,法抽取,容,容量为2的随机,样,样本，,写,写出样,本,本均值,的,的抽样,分,分布。,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,均值和,方,方差,样本均,值,值的抽样分,布,布(例题分,析,析),现从总,体,体中抽,取,取n2的简单,随,随机样,本,本，在,重,重复抽,样,样条件,下,下，共,有,有42=16个样本,。,。所有,样,样本的,结,结果为,3,4,3,3,3,2,3,1,3,2,4,2,3,2,2,2,1,2,4,4,4,3,4,2,4,1,4,1,4,4,1,3,3,2,1,1,2,1,1,1,第二个观察值,第一个,观察值,所有可能的,n,=2,的样本（共,16,个）,样本均,值,值的抽样分,布,布(例题分,析,析),计算出,各,各样本,的,的均值,，,，如下,表,表。并,给,给出样,本,本均值,的,的抽样,分,分布,3.5,3.0,2.5,2.0,3,3.0,2.5,2.0,1.5,2,4.0,3.5,3.0,2.5,4,2.5,4,2.0,3,2,1,1.5,1.0,1,第二个观察值,第一个,观察值,16,个样本的均值（,x,）,x,样本均值的抽样分布,1.0,0,0.1,0.2,0.3,P,(,x,),1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,样本均,值,值的抽样分,布,布(数学期,望,望与方,差,差),1.样本均,值,值的均,值,值(数学期,望,望)等于总体均,值,值,2.样本均,值,值的方,差,差等于,总,总体方,差,差的1/n,样本均,值,值的分,布,布与总,体,体分布,的,的比较(例题分,析,析),=2,.,.5,2=1.25,总体分,布,布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,抽样分布,P,(,x,),1.0,0,.1,.2,.3,1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,x,两个重,要,要结论,：,：,1.样本统,计,计量抽,样,样分布,的,的平均,数,数等于,总,总体平,均,均数,即,2.样本统,计,计量抽,样,样分布,的,的标准,差,差等于,总,总体标,准,准差除,以,以样本,单,单位数,的,的平方,根,根。即,又称为抽,样,样标准误,差,差，用,表,表示。,x,样本均,值,值的抽,样,样分布,以上两个结,论,论具有,普,普遍意义,这一等,式,式可以,看,看出一,项,项重要,事,事实,抽样平,均,均误差,比,比总体,标,标准差,小,小的多,，,，仅为,其,其,。,。,例如一,个,个县的,粮,粮食亩,产,产高低,悬,悬殊，,亩,亩产标,准,准差为80公斤，如果,随,随机抽,取,取100亩求平,均,均亩产,，,，那么,样,样本平均亩,产,产量的差异,就,就显著,减,减小，,平,平均误,差,差只及,总,总体亩,产,产标准差,的,的，即8斤。,样本均,值,值的抽,样,样分布,样本均,值,值的抽,样,样分布,样本均,值,值的抽,样,样分布,样本抽,样,样分布,原总体,分,分布,样本均,值,值的抽样分,布,布与中心极,限,限定理,=50,=10,X,总体分布,n,=4,抽样分布,x,n,=16,当总体,服,服从正,态,态分布N(,2)时，来,自,自该总,体,体的所,有,有容量,为,为n的样本,的,的均值x也服从,正,正态分,布,布，x的数学,期,期望为，方差,为,为2/n。即xN(,2/n),中心极,限,限定理(CentralLimitTheorem),当样本容量足够大时,(n,30),，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,中心极,限,限定理,：,：设从,均,均值为，方差,为,为2的一个,任,任意总,体,体中抽,取,取容量,为,为n的样本,，,，当n充分大,时,时，样,本,本均值,的,的抽样,分,分布近,似,似服从,均,均值为、方差,为,为2/n的正态,分,分布,一个任意分布的总体,x,中心极,限,限定理(CentralLimitTheorem),x的分布,趋,趋于正,态,态分布,的,的过程,抽样分,布,布与总,体,体分布,的,的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,正态分布,正态分布,非正态分布,样本分,布,布,样本均,值,值的数学期,望,望,样本均,值,值的方差,重复抽样,不重复抽样,样本均,值,值的抽样分,布,布(数学期,望,望与方,差,差),教材P88,总体(或样本)中具有,某,某种属,性,性的单,位,位与全,部,部单位,总,总数之,比,比,称为比,率,率。不,同性别的人,与,与全部,人,人数之,比,比,合格品(或不合,格,格品)与全部,产,产品总,数,数之比,总体比率可,表,表示为,样本比率可,表,表示为,4.4,.,.2样本比,率,率的抽,样,样分布,在重复,选,选取容,量,量为n的样本,时,时，由,样,样本比,率,率的所,有,有可能,取,取值形,成,成的相,对,对频数分,布,布，一种理论概率分,布,布。,当样本,容,容量很,大,大时，,样,样本比,率,率的抽,样,样分布,可,可