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,北京大学博士学位论文,Weyl,变换,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 贝塞尔函数,讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；,讨论贝塞尔,(Bessel),方程的解以及解的性质。,稳恒状态圆域上热传导问题,欧拉方程。,瞬时状态圆域上热传导问题,贝塞尔方程。,5.1,贝塞尔方程的引入,5.1,贝塞尔方程的引入,设有半径为,R,的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。,可归结为求解如下定解问题,令 ，代入方程得,进而得,齐次偏微分方程化为两个微分方程,:,它的解为,(1),5.1,贝塞尔方程的引入,(2),亥姆霍兹方程,(,Helmholtz,),由边界条件，可知,在极坐标系下，问题可以写成,5.1,贝塞尔方程的引入,再次分离变量,令,代入化简得,引入参数 分解,5.1,贝塞尔方程的引入,本征值 ，,将 代入另一方程得,n,阶贝塞尔方程,.,结合自然周期条件，得本征值问题,本征函数,5.1,贝塞尔方程的引入,由条件 得,由温度是有限的，得,原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数,.,做代换,并记,考虑贝塞尔方程,5.1,贝塞尔方程的引入,n,阶贝塞尔方程的标准形式,.,方程转化为,5.1,贝塞尔方程的引入,5.2,贝塞尔方程的求解,5.2,贝塞尔方程的求解,用,x,表示自变量,y=y,(,x,),表示未知函数,则,n,阶贝塞尔方程为,其中,n,为任意实数或者复数,我们仅讨论 的情形,.,假定方程有如下形式的级数解：,其中 为常数。,逐项求导,有,代入方程确定系数 和 ：,比较系数得,5.2,贝塞尔方程的求解,取,c,=,n,由,选取,由,得,因此,5.2,贝塞尔方程的求解,这样，得到方程的一个特解,称 为 阶第一类贝塞尔函数,(,n,=0).,5.2,贝塞尔方程的求解,取指标,得方程的另一特解,当,n,不为整数时,和 线性无关,所以方程的通解可以表示为,结论：,5.2,贝塞尔方程的求解,如果选取,得到,称 为,n,阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,方程的通解也可表示为,当,n,不为整数时,和 线性无关,5.2,贝塞尔方程的求解,当,m,n,为整数时，有,Gamma,函数的定义与性质,5.3,n,为整数时贝塞尔方程的通解,5.3,n,为整数时贝塞尔方程的通解,(1),由,得,（）取,n,=,N,在中,由于,m,N,时，,所以级数从,m,=,N,开始,所以，当,n,为整数时,与 线性相关,此时定义第二类贝塞尔函数为,不为整数,.,可以证明 和 线性无关，,通解可写为,5.3,n,为整数时贝塞尔方程的通解,其中,C,为欧拉常数,C,=,0.577216,5.3,n,为整数时贝塞尔方程的通解,5.4,贝塞尔函数的递推公式,5.4,贝塞尔函数的递推公式,建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式,.,首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系,.,分别令 及 得,:,微分,J,0,的第,2,k,+2,项,（）,所以,则,又,5.4,贝塞尔函数的递推公式,一般的,有,上面两式左边的导数求出来,并经过化简,则得,5.4,贝塞尔函数的递推公式,分别消去 和,可以得到,两式相加减,贝塞尔函数的递推公式,若知道,的值,就可以求出,进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值,.,5.4,贝塞尔函数的递推公式,对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式,.,5.4,贝塞尔函数的递推公式,例,5.4,n,为整数时贝塞尔方程的通解,例 求不定积分,.,解 由 ，可得,5.4,贝塞尔函数的递推公式,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题：,方程的通解为,由于,由条件 知,从而,为了求出特征值问题,必须判明 的零点是否存在,分布情形如何,由可得,:,贝塞尔函数的零点的结论：,(1),J,n,(,x,),有无穷多个单重实零点,这些零点在,x,轴上关于原点对称分布,因而,J,n,(,x,),有无穷多个正的零点,;,(2),J,n,(,x,),的零点和,J,n+,1,(,x,),的零点是彼此相间分布,.,(3),设,(),为 的正零点,则有,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,与这些特征值相应的特征函数为,的解为,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,贝塞尔函数的正交性,的正平方根称为函数 的模值,.,的正交性,讨论,n,阶贝塞尔函数序列,(,m,=,1,2,),在区间,(0,R,),上带权,r,正交,即,结论,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,结论,2.,在区间，,R,上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数,f,(,r,),如果在,r,=0,处有界,在,r,=,R,处等于零,则它必可以展开为,如下形式的一致收敛的级数：,其中,5.5,函数展成贝塞尔函数的级数,.6,应用举例,例,1,设有半径为,1,的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为,1-,r,2,，,其中,r,为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。,分析,:,由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标,.,考虑到定解条件和 无关,所以温度 只能是 和 的函数,.,.,应用举例,解,:,问题可归结为求下列定解问题,:,设,由于 和 无关,可以化简为问题,.,应用举例,由物理意义,且当 时,解,(1),得：,因为 时,.(1),.(2),令,代入方程得,所以,令,即,.,应用举例,(2),为零阶非标准的贝塞尔方程,通解为,由 的有界性,可以知道,由条件,得,即 是,的零点,.,用,(,n,=1,2),表示 的正零点,综合以上结果可得,:,.,应用举例,从而,由叠加原理,可得原问题的解为,.,应用举例,由初始边界条件得,故,.,应用举例,因为,所以,.,应用举例,从而,所求定解问题的解为,其中 是 的正零点,.,.,应用举例,
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