3行列式(递归定义)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,方阵的行列式,方阵,A,的行列式是按某种规则运算后得到的数值。,其中,为行列式的第,列元素。,行,1,、方阵行列式的记法,把矩阵的方括号改成两条竖线！,子式。,称为,的余子式，,称,为,的,代数余,划去,的第,行,列元素，,阶行列式,排成的,剩下元素按原来相对位置,2,、代数余子式,例如：,问题：,M,32,=?,，,A,32,=?,当,时，,定义,当,时，,3,、行列式的递归定义,（,1,）一阶行列式定义（只有一行一列）,（,2,）,n,阶行列式定义,例如，,例1,解,求二阶行列式,的值。,原式,交叉相乘！,例,2,三阶行列式的展开式！,三阶行列式的对角线法则,前三项全为正号,三阶行列式的对角线法则,后三项全为负号,4,、行列式简单性质,（,1,）项：由行列式不同行不同列的,n,个元素,所作乘积。,（,2,）行列式最终可以展开成它的一系列项的代数和。,（,3,）不同的项总共有,n!,个。,（,4,）正负项各占一半！,例,3,求在,5,阶行列式中,这一项前面的符号？,将这一项中元素原样放置，其它位置为,0,，计算这个行列式！,5,、对角矩阵的行列式,按行列式的定义怎样证？,单位阵的行列式？,6,、下三角形矩阵的行列式,按行列式的定义怎样证？,上三角形矩阵的行列式？,7,、行列式的性质,需要用数学归纳法，见附录,A,（,P40,）。,（,1,）行列式按任意一行展开，它的值不变！,（,2,）行列式也可按任意一列展开，它的值不变！,例题,3,计算,按最后一行展开！,8,、行列式的性质,（,3,）互换两行行列式值变号。,（,5,）若行列式有两行相同，则行列式为,0,。,（,4,）互换两列行列式值也变号。,需要用数学归纳法，见附录,A,（,P40,）。,（,6,）可以从一行中提取公因数：,（,7,）可以从一列中提取公因数：,从第,2,列中提取一个数,2,！,从第,2,行中提取一个数,2,！,(8),两行（列）对应成比例，则行列式为,0,。,(9),（,10,）单行,(,列,),可加性,（,11,）消元性质,:,第,j,行加上第,i,行的,k,倍后，行列式不变！,怎么证明？,（,12,）行列式转置后其值不变！,需要用数学归纳法，见附录,A,（,P40,）。,例：,奇数阶反对称矩阵的行列式的值为,0,。,证明,设,为,阶矩阵，,（,13,）分割性质,将矩阵,C,分成四块！,需要用数学归纳法，见附录,A,（,P40,）。,（,14,）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积,.,未必有,AB=BA,但却有,|AB|=|BA|!,证明见附录,A,（,P40,）。,8,、计算行列式：化三角形法,利用行列式消元性质，将它化成上（下）三角形行列式，然后再求值。,例1,计算下列行列式,例2,计算,4,阶行列式，,9,、行列式的计算：降阶法,例4,第,2,行加上第一行！,第,4,列减第,3,列,4,倍！,按第二行展开！,再消元，再展开！,10,、行列式的计算：递推法,例5,计算,2n,行列式,解：按,D,2n,的第一行展开：,于是得递推公式：,利用递推公式，得,11,、行列式计算：用数学归纳法,例,6,证明,范德蒙行列式,课后写出这个边乘积的表达式？,证明：,Step1,：当,n=2,时,故对,2,阶范德蒙行列式公式成立。,Step2,：假设命题对于,n-1,阶,范德蒙行列式成立。,对于,从最后,一行起依次减去上一行的,倍,按第,1,列展开！,这样对,n,阶公式也是成立的！从而范德蒙行列式的公式,成立。比如：,例7,设,计算,被计算的式子正好是第一行元素与第三行元素的代数余子式对应相乘后的和！,素的代数余子式的乘积之和为,0,。,性质,15,：行列式的一行与另一行对应元,12,、行列式性质,证明见课本,P36,，辅助行列式法。,定理：,（,1,）行列式,D,的任一行的每个元素与其对应的,代数余子式乘积之和等于该行列式的值；,（,2,）行列式,D,的任,一行的每个元素与另一行,相应元素的代,数余子式的乘积之和为零。,13,、行列式展开定理,例8,定义,，称为,的,伴随矩阵,。,设,问题：伴随矩阵是怎样生成的？代数余子式的放法？,同理它们颠倒相乘仍有：,13,、伴随矩阵的性质,