4.4 实对称矩阵的对角化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数课件 hty,*,C4-4,实对称矩阵的对角化,1,线性代数课件 hty,定理,1,对称矩阵的特征值为实数,.,证明,一、对称矩阵的性质,说明,：本节所提到的对称矩阵，除非特别说,明，均指,实对称矩阵,2,线性代数课件 hty,于是有,两式相减，得,3,线性代数课件 hty,定理,1,的意义,4,线性代数课件 hty,证明,于是,5,线性代数课件 hty,证明,它们的重数依次为,根据定理,1,（,对称矩阵的特征值为实数,）和定,理,3(,如上,),可得：,设 的互不相等的特征值为,6,线性代数课件 hty,由定理,2,知,对应于不同特征值的特征向量正交,，,这样的特征向量共可得 个,.,故这 个单位特征向量两两正交,.,以它们为列向量构成正交矩阵,，,则,7,线性代数课件 hty,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤,为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,将特征向量正交化,;,3.,将特征向量单位化,.,4.,2.,1.,8,线性代数课件 hty,解,例,对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵,，,使 为对角阵,.,(1),第一步 求 的特征值,9,线性代数课件 hty,解之得基础解系,解之得基础解系,10,线性代数课件 hty,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,11,线性代数课件 hty,12,线性代数课件 hty,13,线性代数课件 hty,14,线性代数课件 hty,于是得正交阵,15,线性代数课件 hty,1.,对称矩阵的性质：,三、小结,(1),特征值为实数；,(2),属于不同特征值的特征向量正交；,(3),特征值的重数和与之对应的线性无关的,特征向量的个数相等；,(4),必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值,2.,利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1),求特征值；,(2),找特征向量；,(3),将特征向,量单位化；,(4),最后正交化,16,线性代数课件 hty,思考题,17,线性代数课件 hty,思考题解答,18,线性代数课件 hty,