第五章04区间估计(精品)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一、,区间估计的概念,定义,5.5,设总体,X,的未知参数为,q,，对于给定的,a,(0,a,1),，由样本,(X,1,X,2,X,n,),确定两个估计量：,使,成立,则用区间,估计参数,q,，估计对的概率为,1,-a,称为参数,q,的,估计区间，或叫置信区间；,分别为参数,q,的,置信下限、置信上限,；,1,-a,为估计,的,置信度（置信概率或叫可靠程度）；,a,为估计,的显著性水平，表示估计错的概率，一般地取,a,=0.05,左右。,返回,1,一、,区间估计的概念,注意：,比较,与,Pa,Xb=1,-a,不同，,参数,q,不是随机变量，它有真值，而 为随机区间。,要求 以,1-a,的概率包含其参数,q,的真值,.,具体求 时，是通过选取一个含有参数,q,的适当统计量，并确定适当的临界值，从而解出,返回,上页,2,一、,区间估计的概念,估计的可靠度,1,-a,与精确程度的关系：,估计区间的长度越短，精确度就越高，而可靠度会降低；,反之提高可靠度会导致估计区间变长,精确度降低。,通常给定,a,（可靠度,1,-a,确定），通过选取适当的统计量,并且确定适当的,“临界值”，使所得估计区间尽可能的短,.,即给定,可靠度,尽可能地,提高精确度。,返回,上页,3,二、单个正态总体参数的区间估计,基本步骤：,1.,根据不同的情况和条件，选取适当的统计量：,其中包含待估计的参数,q,;,所选统计量的分布已知；,尽可能多的包含已知的信息，不含其它未知参数。,2.,确定相应的双侧临界值。,3.,解出置信区间。,复习统计量：,设样本,(X,1,X,2,X,n,),取自正态总体,XN(,m,s,2,),，则有,返回,4,二、单个正态总体参数的区间估计,1.,已知总体,N(,m,s,2,),的方差,s,2,，求,m,的估计区间,上页,由样本,(X,1,X,2,X,n,),选取,U,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,l,，,-,l,l,1,-a,满足,P|U|,l,=1,-a,，即要找一个概率为,1,-a,的最短区间。,由,F,(,l,)=1,-a/,2,可得,l,=,u,1,-,a,/2,，如,a=,0.05,F,(,u,1,-,a,/2,)=0.975,u,1,-,a,/2,=1.96,即,正态分布,临界值,所以,m,的置信度为,1,-a,的置信区间为,返回,a/,2,a/,2,5,二、单个正态总体参数的区间估计,1.,已知总体,N(,m,s,2,),的方差,s,2,求,m,的估计区间,上页,选取,U,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,u,1,-,a/2,使,P|U|,u,1,-,a/2,=1,-a,，由,F,(,u,1,-,a,/2,)=1,-a/,2,可得,u,1,-,a,/2,-,u,1,-,a/2,u,1,-,a/2,1,-a,即,所以,m,的置信度为,1,-a,的置信区间为,区间中点为,区间半径为,返回,a/,2,a/,2,6,例题,1,设总体,XN(,m,0.2,2,),，由,样本,(,x,1,x,2,x,9,),，已知,n=9,，,=12.35,求,m,的,90%,的置信区间。,解,选取,U,统计量,对于给定的,a,=0.1,，确定双侧临界值,u,1,-,a/2,，使,P|U|,u,1,-,a/2,=0.9,查表：,F,(,u,1,-,a,/2,)=1,-a/,2=0.95,，可得,u,1,-,a,/2,=1.64,，即,上页,m,的置信度为,90%,的置信区间为,代入数值得,即,(12.24,，,12.46),7,二、单个正态总体参数的区间估计,2.,未知总体,N(,m,s,2,),的方差,s,2,，求,m,的估计区间,估计,1,由样本,(X,1,X,2,X,n,),选取,T,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,t,a,，,-,t,a,t,a,1,-a,满足,P|T|,t,a,=,a,查,t-,分布双侧临界表可得,t,a,，注意自由度为,n-1,即,t(n,),分布,临界值,所以,m,的置信度为,1,-a,的置信区间为,参看,t-,分布,曲线的变化,动画,、,程序,a/,2,a/,2,8,例题,3,假设人的身高服从正态分布，今从高三毕业班中随机抽查,10,名女生，测其身高如下：,162,159.5,168,160,157,162,163.4,158.5,170.3,166(,单位,：,厘米,),.,求高三女生平均身高,EX=,m,的,0.95,的置信区间。,解,XN(,m,s,2,),，,s,2,未知，求,m,的置信区间,选,T,统计量,1,-a=,0.95,，,a=,0.05,，由,P|T|,t,a,=0.05,，查附表,6(,P319,P320,),得,t,a,=,t,0.05,(9)=2.262,置信区间为,计算,得,m,的,0.95,的置信区间为,(159.60,165.74),9,区间估计,3.,未知总体,N(,m,s,2,),的,m,，求方差,s,2,的估计区间,二、单个正态总体参数的区间估计,由样本,(X,1,X,2,X,n,),选取,c,2,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,l,1,l,2,满足,P,l,1,c,2,l,2,=1,-a,，即要找一个概率为,1,-a,的最短区间。,要求,P,c,2,l,2,=,a/2,查,c,2,-,分布上侧临界表可得,l,2,=,c,2,a/2,(,n,-1),l,1,=,c,2,1,-a/2,(,n,-1),即,所以,s,2,的置信度为,1,-a,的置信区间为,l,1,l,2,1,-a,a/,2,a/,2,10,例题,4,某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查,12,袋，测得重量,(,单位,：,克,),如下：,1001,1004,1003,997,999,1000,1004,1000,996,1002,998,999,.,求该包装机包装的洗衣粉重量方差,的置信区间。,(,a,=0.05),解,XN(,m,s,2,),，,m,未知，求,s,2,的置信区间,选,c,2,统计量,a=,0.05,，由,P,c,2,l,2,=,a/2=0.025,查,c,2,-,分布上侧临界表,(,附表,5,P317,P318,),可得,l,2,=,c,2,0.025,(,1,1)=21.92,l,1,=,c,2,0.975,(,1,1)=3.816,计算,(n,-,1)s,2,=76.25,，置信区间为,11,4.,已知总体,N(,m,s,2,),的,m,，求方差,s,2,的估计区间,二、单个正态总体参数的区间估计,由样本,(X,1,X,2,X,n,),选取,c,*,2,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,l,1,l,2,满足,P,l,1,c,*,2,l,2,=1,-a,，即要找一个概率为,1,-a,的最短区间。,要求,P,c,*,2,l,2,=,a,/,2,查,c,2,-,分布上侧临界表可得,l,2,=,c,2,a/2,(,n,),l,1,=,c,2,1,-a/2,(,n,),即,所以,s,2,的置信度为,1,-a,的置信区间为,l,1,l,2,1,-a,a/,2,a/,2,12,next,back,三、*两个正态总体参数的区间估计,两个样本构成的统计量；,U,-,统计量；,T,-,统计量；,F,-,统计量,设样本,(X,1,X,2,X,n1,),与,(Y,1,Y,2,Y,n2,),分别取自相互独立的两个正态总体,XN(,m,1,s,1,2,),和,YN(,m,2,s,2,2,),，则,(,其中,s,1,2,=,s,2,2,),13,next,back,三、*两个正态总体参数的区间估计,1.,已知,s,1,2,s,2,2,，求,m,1,-,m,2,的置信区间,选取,U,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,u,1,-,a/2,使,P|U|,u,1,-,a,/,2,=1,-a,，由,F,(,u,1,-,a,/,2,)=1,-a/,2,可得,u,1,-,a,/,2,m,1,-,m,2,的置信度为,1,-a,的置信区间为,其中,14,next,back,三、*两个正态总体参数的区间估计,2.,未知,s,1,2,s,2,2,，但,s,1,2,=,s,2,2,，求,m,1,-,m,2,的置信区间,选取,T,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,t,a,(,n,1,+n,2,-,2,),使,P|T|,t,a,=,a,m,1,-,m,2,的置信度为,1,-a,的置信区间为,其中,15,next,back,三、*两个正态总体参数的区间估计,3.,未知,m,1,、,m,2,，求,的置信区间,选取,F,统计量,的置信度为,1,-a,的置信区间为,对于给定的,a,，确定双侧临界值,a,，,b,使,P,a,F,b,=1,-a,，且,PF,b,=,a,/,2,b,=,f,a/2,(,n,1,-,1,n,2,-,1,),，,a,=1,/,f,a/2,(,n,2,-,1,n,1,-,1,),，,16,next,back,四、一般总体,(,大样本,),参数的区间估计,由中心极限定理知,:,当,n,充分大时，近似地有,1.,已知总体,X,的方差,s,2,，求,m,的估计区间,选取,U,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,u,1,-,a,/,2,使,P|U|,u,1,-,a,/,2,=1,-a,，由,F,(,u,1,-,a,/,2,)=1,-a,/,2,可得,u,1,-,a,/,2,即,m,的置信度为,1,-a,的置信区间为,17,next,back,四、一般总体,(,大样本,),参数的区间估计,当,n,充分大时，,s,S,2.,未知总体,X,的方差,s,2,，求,m,的估计区间,仍然选取,U,统计量,对于给定的,a,，确定双侧临界值,u,1,-,a,/,2,使,P|U|,u,1,-,a,/,2,=1,-a,，由,F,(,u,1,-,a,/,2,)=1,-a,/,2,可得,u,1,-,a,/,2,即,m,的置信度为,1,-a,的置信区间为,18,next,back,第五节,*比率的区间估计,19,作业,习题五,P263P264 A(513),5,、,6,、,7,、,11,20,回估计,1,next,back,j,(,x,),0,x,-,x,0.3989,标准正态分布,对于,X,N(0,1),j,(-,x,)=,j,(,x,),，且,极大值,j,(0)=0.3989,21,next,back,正态分布的密度函数曲线,x,-,x,j,(,x,),对于,N(,m,s,2,),m+,x,m-,x,s,=,1,m,s,1,s,=1,时平移,关于,x,=,m,对称,f,(m-,x,)=,f,(m+,x,),极大值,回估计,1,22,X,N(0,1),，,F,(,x,)=,PX,x,=,由,j,(,x,),的对称性可知,P,X,-,x,=,P,X,x,=1-,P,X,x,next,back,即,F,(,-,x,)=1,-F,(,x,),且,F,(0)=P,X,0=1,/,2=0.5,x,-,x,j,(,x,),x,-,x,F,(,x,),0.5,1,注意观察这两种曲线的变化,动画,、,程序,、,参看课件,正态分布的密度函数曲线,回估计,1,23,标准正态分布双侧临界值,1,-a,0,-,l,l,a,/,2,a,/,2,返回,查附表,4,由,P|X|,l,=2,F,(,l,),-,1=1,-a,也可得,-,u,1,-,a/2,u,1,-,a/2,可得,l,=,u,1,-,a/,2,求,l,使,P|X|,t,a