第三章概率分布与抽样分布

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第三章 概率分布与抽样分布,(,Distribution and Sample Distribution,),一、概率与概率分布,（一）概率,通俗地说，概率就是机率。在相同条件下进行,n,次随机试验，事件,A,出现,m,次，则比值,m/n,称为事件,A,发生的频率。随着,n,的增大，该频率围绕某一常数,P,上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于稳定，这个频率的稳定值即为事件,A,的概率，记为,P,（,A,）,=m/n,。,条件概率：,A,、,B,为两个随机事件，,P,（,A,B,）称为事件,B,发生的前提下事件,A,发生的条件概率。,P,（,A,B,）,=,，,P,（,B,）,0,。,由于增加了新的条件（附加信息），一般说来，,P,（,A,B,）,P,（,A,）。,乘法公式：,将条件概率公式变形可得：,P,（,AB,）,=P,（,B,）,P,（,A,B,）,将上式中,A,、,B,的位置对调，可得：,P,（,AB,）,=P,（,A,）,P,（,B,A,）,以上两式统称概率乘法公式。,全概率公式与逆概率公式：,1,、完备事件组,若事件,A,1,、,A,2,、,A,n,互不相容（互斥），且其中之一必然发生，则事件,A,1,、,A,2,、,A,n,组成完备事件组。即,A,1,A,2,A,n,=,，,A,i,A,j,=,（,ij,）,2,、全概率公式,若事件,A,1,、,A,2,、,A,n,为完备事件组，则对任一事件,B,，有,一、概率与概率分布,（二）概率分布,概率与随机变量密不可分。,随机变量：离散型、连续型。,概率分布：随机变量取一切可能值的概率的规律称为概率分布，即,P,（,x=everyprobnumber,）,=?,概率分布可以用表、图形或公式等多种方式来表示。,二项分布：,只有两种可能结果的试验称为贝努利试验。,n,次独立重复的贝努利试验称为,n,重贝努利试验。在,n,重贝努利试验中，结果,A,（成功）出现,m,次的概率分布为：,其中：,几何分布：,在可列重贝努利试验中，结果,A,（成功）在第,m,次首次出现的概率分布为：,二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。,超几何分布：,二项分布与几何分布都是在,n,重或可列重相互,独立,的贝努利试验中形成的。那么，如果这种试验不是相互独立的呢？比如：,假定有一批,500,个产品，而其中有,5,个次品。假定该产品的质量检查采取随机抽取,20,个产品进行检查。如果抽到的,20,个产品中含有,2,个或更多不合格产品，则整个,500,个产品将会被退回。,这时，人们想知道该批产品被退回的概率是多少。该概率满足超几何分布,(hypergeometric distribution),。,这样的抽样一般采取,“,不放回抽样,”,，也就是说，每次抽取之后并不放回。在这种情况下，每次抽取之后，总体之中的合格和不合格品的比例都会发生变化，和以前不一样了，因此，每次试验不再是独立的贝努利试验，在,n,次试验中，结果,A,（成功）出现,m,次的概率分布也就不再服从二项分布，而是服从超几何分布：,其中,N,为产品总数，,n,为试验次数也即抽取出的产品数；,K,为产品中结果,A,的总数也即产品中的总次品数。,一、概率与概率分布,（三）概率密度函数与累积概率分布函数,连续型随机变量不好讲概率分布，所以讲累积概率分布，,P(x,everyprobnumber)=?,而,其累积概率分布也是无穷的，所以用函数来刻画，引入了概率密度函数,(probability density function,，,pdf),和累积概率分布函数,(cumulative distribution function,，,cdf),。,若,X,为连续型随机变量，且存在一个非负函数,f(x),，使得对任意区间（,a,，,b,），有,P,X(a,，,b),=P,a,X,b,=,则称,f(x),为连续型随机变量,X,的概率密度函数。,在平面直角坐标系中画出,f(x),的图形，则对于任何实数,x,1,x,2,，,P(x,1,=30,的条件，样本均值也近似服从正态分布，即：,同理，对于两个相互独立的正态总体,N,（,1,，,1,2,）、,N,（,2,，,2,2,），假设我们从这两个总体中分别抽取一个,n,1,、,n,2,个观察值组成的样本，那么，这两个样本均值的差也服从正态分布，即：,思考：如果这两个总体不是正态总体而,n,1,、,n,2,足够大，样本均值差的分布形态还是这样的吗？,标准正态分布,N(0,，,1),：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以化为标准正态分布，即 ,N,（,0,，,1,）。,所以，说一个随机变量服从正态分布，与说它服从标准正态分布没什么太大差别，因为它可以转化为标准正态分布。,数据的标准得分：,我年收入,60,万，多吗？,两个水平类似的班级（一班和二班）上同一门课，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样,(,数据：,grade.txt),。一班的平均分和标准差分别为,78.53,和,9.43,，二班的均值和标准差分别为,70.19,和,7.00,。那么，一班得,90,分的张颖是不是比二班得,82,分的刘疏成绩更好呢？怎么比较才更合理呢？,数据的标准化：,虽然均值和标准差不同的数据不好直接比较，但是可以把它们进行标准化，再比较标准化后的数据。,数据标准化的方法主要有两种；数据标准化后得到的值称为标准得分（,standard score,、,z-score,）：,可以看出，原始数据在各自的均值附近，离散程度也不一样。但它们的标准得分则在,0,周围，且离散程度也差不多。数据经过标准化后，均变换成均值为,0,、方差为,1,的样本。标准化后的数据没有量纲；不同样本观测值的比较只有相对意义，没有绝对意义。,100,97,N=,?,?,?,?,110,100,90,80,70,60,50,40,2,1,100,97,N=,?,?,?,?,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,2,1,三、分布,若,X,1,、,X,2,、,X,n,相互独立，且均服从标准正态分布,N,（,0,，,1,）。则随机变量,Y=X,1,2,+X,2,2,+,+X,n,2,的概率分布为自由度为,n,的 分布，简记为,Y,（,n,）。,自由度：变量的自由程度。对于样本方差,S,2,，则：,比如，有些产品出厂时不仅需要标注其性能参数均值，而且要标明均值的方差（标准差）。为了估计某产品能耗的方差，我们随机抽取了,10,件，测得其能耗为（千瓦时,/,小时）：,12.5,，,12.12,，,12.01,，,12.28,，,12.09,，,12.03,，,12.01,，,12.11,，,12.06,，,12.14,。,那么，当其能耗,x,服从正态分布时,：,思考：,在上一张片子中，下面的统计量是严格服从卡方分布还是近似服从卡方分布？为什么？,再,比如，为研究家庭食品支出与收入的关系，随机抽取了,10,户家庭作为样本，得到如下数据：,那么，当食品支出,y,服从正态分布时,：,下表是工商,07,级,1,班、,2,班某门课的考试成绩,。思考：,服从卡方分布吗？如果服从，其自由度是多少？如果不服从，那在什么情况或什么条件下服从？,四、,t,分布,若随机变量,X,Z,（,0,，,1,），,Y,（,n,），且,X,、,Y,相互独立，则随机变量,Z=,服从自由度为,n,的,t,分布，简记为,Z,t,（,n,）。,t,分布概率密度曲线图如下：,特点：,1,、,t,分布为对称分布；,2,、,n,充分大时，,t,分布近似,Z,（,0,，,1,）。,考察统计量,其中，分子 ，分母中 。因此，,T,t,（,n-1,）。,五、,F,分布,若随机变量,X,（,n,1,），,Y,（,n,2,），且,X,、,Y,相互独立，则随机变量,Z=,服从自由度为（,n,1,，,n,2,）的,F,分布，简记为,Z,F,（,n,1,，,n,2,）。,F,分布的概率密度曲线如下：,比如，下表是工商,07,级,1,班、,2,班某门课的考试成绩,。假设两个班的学生成绩相互独立且都服从正态分布，那么，要分析两个班学习成绩的分化程度，我们可以考察下面的统计量：,比如，下表是工商,07,级,1,班、,2,班某门课的考试成绩,。假设两个班的学生成绩相互独立且都服从正态分布，那么，要分析两个班学习成绩的分化程度，我们可以考察下面的统计量：,六、随机变量,X,与,Y,相互独立的充要条件：,1,、离散变量：,P,（,X=x,i,，,Y=y,i,）,=P,（,X=x,i,）,P,（,Y=y,i,）,（边缘概率分布之积等于联合概率分布）,2,、连续变量：,f,（,x,，,y,）,=f,X,（,x,）,f,Y,（,y,）,（边缘概率密度之积等于联合概率密度）,R,软件中的统计计算：,常用分布：,norm,：正态；,t,：,t,分布；,f,：,F,分布；,chisq,：卡方分布；,unif,：均匀分布；,binom,：二项分布。,每种分布有四个函数：,ddensity,（密度函数）；,pprobability(,概率分布函数,),；,qquantile(,分位数函数,),；,rrandom(,随机数函数,),。,如，对于正态分布来说：,dnorm,、,pnorm,、,qnorm,、,rnorm,。,pnorm(0,0,1);rnorm(100,0,1);qnorm(0.975,0,1),#,画正态分布概率密度曲线（,N,（,0,，,1),，,N,（,0,，,22),，,N,（,0,，,32,）,x=seq(-6,6,length=2000),plot(x,dnorm(x,0,1),type=l,lwd=3,xaxs=i,yaxs=i,font=3,ylab=Density of Normal,main=,正态分布概率密度曲线,(,=0),col=red,pch=4),points(x,dnorm(x,0,2),type=l,lwd=3,col=red)#,增加,N,（,0,，,22),概率密度曲线,points(x,dnorm(x,0,3),type=l,lwd=3,col=red)#,增加,N,（,0,，,32),概率密度曲线,#,以下两句主要是把,-1,左边的区域加上竖线,x1=seq(-6,-1,length=30),points(x1,dnorm(x1,0,1),type=h,lwd=2,col=dark green)#,把,-1,左边区域加上竖线,text(-1,0.01,labels=if X,z(0,1),，,p(X=-1.0)=?,adj=c(0,0),font=30,col=red)#,在,x=-1,、,y=0.01,处加注,“,X,z(0,1),，,p(Xtext(locator(1),=1,adj=0);text(locator(1),=2,adj=0);text(locator(1),=3,adj=0)#,通过鼠标直接点击给图形加上文字,