二阶微分方程

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,数学物理方法,二阶常微分方程,二阶常微分方程,常用齐次定解问题,数学物理中的对称性,特殊函数常微分方程,常微分方程的级数解法,斯图姆,刘维尔本征值问题,本章小结,常用齐次定解问题,常用齐次定解问题的要素,常用齐次定解问题的分类,拉普拉斯算符的形式,拉普拉斯算符形式的推导,常用齐次定解问题要素,常用齐次定解问题的分类,直角坐标,极坐标,球坐标,稳定方程,演化方程,！,！,拉普拉斯算符的形式,二维,三维,直角坐标,极柱坐标,球坐标,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,数学物理中的对称性,对称性的概念,定义：对称性就是在某种变换下的不变性,分类,对称性的,描述,对称性原理,当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。,对称性的,应用,对称性的分类,对称性的描述,对称性名称,对称条件,对称函数,沿,z,轴反演对称,沿,z,轴平移对称,绕,z,轴转动对称,绕原点转动对称,对称性的应用,柱坐标输运方程,对称性,未知函数,泛定方程,无,任何对称性,沿,z,轴平移对称,绕,z,轴转动对称,双重对称,特殊函数常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量,一般情况,欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程,轴对称情况,勒让德方程,极坐标下热传导方程的分离变量,一般情况,亥姆霍兹方程，贝塞尔方程,轴对称情况,球坐标下拉普拉斯方程,球坐标下拉普拉斯方程,极坐标下热传导方程,常微分方程的级数解法,常微分方程中点的,分类,各点邻域级数,解的形式,勒让德方程,的级数解,贝塞尔方程,的级数解,常微分方程中点的分类,二阶变系数常微分方程的一般形式,w”+p(z)w+q(z)w=0,方程中点的分类,常点：,z,0,是,p(z),和,q(z),的解析点,正则奇点：,z,0,是,(z-z,0,)p,和,(z-z,0,),2,q,的解析点,非正则奇点：其它情况,各点邻域级数解的形式,非正则奇点,z,0,邻域,有一解为,常点,z,0,邻域,两解均为,正则奇点,z,0,邻域,有一解为,其中,s,由判定方程确定,a,0,0,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,性质：,奇偶性：,y,0,为偶函数，,y,1,为奇函数；,退化性：,l,为非负整数时，级数解退化为多项式；,收敛性：特解的收敛半径为 1；,有界性：在,x=1,时，非退化级数解发散。,贝塞尔方程的级数解,a,k,0,=0,贝塞尔方程的级数解,贝塞尔方程的级数解,性质：,奇偶性：,m,为,奇偶整数时，,J,m,和,N,m,为奇偶函数；,收敛性：特解的收敛半径为 ；,有界性：在,x 0，m0,时,J,m,有界，,N,m,发散。,斯图姆,刘维尔本征值问题,本征值问题,本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值,本征函数：相应的非零解,本征值问题：求本征值和本征函数的问题,斯特姆,刘维尔,本征值问题,斯特姆,刘维尔型方程,斯特姆,刘维尔型边界条件,斯特姆,刘维尔本征值问题的,性质,可数性：存在可数无限多个本征值；,非负性：所有本征值均为非负数；,正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；,完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,斯特姆,刘维尔本征值问题,斯特姆,刘维尔型方程,其中,k(x)、q(x),和,(x),都非负；,k(x)、k(x),和,q(x),连续或以端点为一阶极点。,斯特姆刘维尔型边界条件,三类齐次边界条件,周期性边界条件,有界性边界条件,斯特姆,刘维尔本征值问题,a,b,k,q,本征值问题,0,L,1,0,1,0,L,1,0,1,-1,1,1-,x,2,0,1,0,b,x,m,2,/x,x,本征函数集合的正交性和完备性,正交性,完备性,展开系数,本征函数集合的正交性和完备性,例题1,问题,本征函数,正交性,完备性,本征函数集合的正交性和完备性,例题2,问题,本征函数,正交性,完备性,本征函数集合的正交性和完备性,例题3,问题,本征函数,正交性,完备性,本章小结,