3.3 二阶系统的时域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3-3,二阶系统的时域分析,二、二阶系统的数学模型,四、欠阻尼二阶系统的动态性能分析,三、二阶系统的阶跃响应,五、过阻尼二阶系统的动态性能分析,六、二阶系统的单位斜坡响应,一、常见的二阶物理对象,七、二阶系统性能的改善,八、非零初始条件下二阶系统的响应过程,一、常见的二阶物理对象,A RLC,网络,二阶系统：凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统,数学模型的标准形式，相应的方块图如图,3-8,所示,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,3.,二阶系统的动态特性，可以用,和,加以描述,特征方程：,两个根,(,闭环极点,):,二、二阶系统的数学模型,（图,3-9,二阶系统的闭环极点分布）,不同实根，阶跃响应为,单调衰减型,实重根，阶跃响应为,单调衰减型,共扼复根，阶跃响应,为振荡型,瞬态响应为无阻尼,振荡（等幅振荡）,阶跃响应发散,1.,无阻尼,(=0),的单位阶跃响应,2.,欠阻尼,(01,）,的单位阶跃响应,三、二阶系统的单位阶跃响应,1,、无阻尼,(=0),的单位阶跃响应,输出的拉氏变换为：,拉氏反变换为：,结论：无阻尼时二阶系统的单位阶跃响应为等幅正弦振荡曲线。（平均值为,1,的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 ）,系统的特征根为：,2,、,欠阻尼（,0,1),二阶系统的单位阶跃响应,其中，衰减系数,阻尼振荡频率,单位阶跃响应为,稳态分量,瞬态分量,欠阻尼二阶系统的单位阶响应由,稳态,和,瞬态,两部分组成：,稳态部分等于,1,，表明不存在稳态误差；,瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由,n,(,即,，,特征根实部）决定；,阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，通常取,=0.4,0.8,为宜。,振荡角频率为阻尼振荡角频率,d,（,特征根虚部），其值由阻尼比,和自然振荡角频率,n,决定。,包络线为：,3,、临界阻尼（,=1,）,二阶系统的单位阶跃响应,表明：响应是稳态值为,1,的无超调单调上升过程。,在相同的自然频率下，比过阻尼快。,4,、,过阻尼（,1,）,二阶系统的单位阶跃响应,则,表明：响应包含两个单调衰减的指数项，稳态值（最大值）为,1,，非振荡的。,在讨论过阻尼系统时，阻尼比没有实际的物理意义,在,工程上，一般不希望出现过阻尼。但对于大惯性、,机械加工等不允许出现超调现象的场合，只能采用过,阻尼或临界阻尼,二阶系统单位阶跃响应曲线,(,0,),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,n,t,c,(,t,),0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0,=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,1.0,2.0,说明：,过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短,的上升时间，响应速度最快。,在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升,时间越短。,三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析,欠阻尼二阶系统的特征参量之间的关系,:,衰减系数,:,闭环极点到虚轴之间的距离；,阻尼振荡频率,d,:,闭环极点到实轴之间的距离；,自然频率,n,:,闭环极点到坐标原点之间的距离；,阻尼角,:,n,与负实轴的夹角,=,cos,。,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,其它的动态性能指标，有的可用,精确表示，如,有的很难用,准确表示，如,可采用近似算法。,1,、,延迟时间,t,d,的计算,二阶系统,n,t,d,与,的关系曲线,令,h(t,d,)=0.5,，得,利用曲线拟合法，近似有,当,0,1,时，还可近似为,表明增大自然频率,n,或减小阻尼比,，,都可以减小延迟时间,t,d,。,2,、上升时间,t,r,的计算,(,第二种定义,),(2,）当阻尼振荡频率,d,一定时，阻尼比,越小，上升时间,t,r,越短。,所以,所以有,（,1,）当阻尼比,一定时，阻尼角,不变，上升时间,t,r,与阻尼振荡频率,d,成反比；,表明,3,、,峰值时间,t,p,的计算,表明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。,或者峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比。,整理得,4,、,超调量,%,的计算,表明超调量,%,仅是阻尼比,的函数,。,阻尼比越大，,超调量越小。,欠阻尼二阶系统,与,%,的关系曲线,得,由于,h()=1,故,一般取,=0.4,0.8,时，,%=1.5%,25.4%,输出量的最大值为,5,、,调节时间,t,s,的计算,假定,0.8,并以,=0.8,，,=0.05,代入，可以解得,t,s,3.5/,n,在分析问题时，常取,t,s,=3.5/,n,=3.5/,表明调节时间,t,s,与闭环极点的实部数值,成反比。,由于阻尼比,的值已经由系统的超调量,%,要求确定下来，所以调节时间主要由自然频率决定。,各项指标之间是有矛盾的。如上升时间和超调,量，因为,增大开环增益,K,时，可以加大自然频率，提高了系统的响应速度，但同时减小了阻尼比,，,使得系统的阻尼程度减小。,应采取合理的折衷方案或补偿方案。,例,3-1,：控制系统如图,3-15,，若要求系统具有性能指标,试确定系统参数,K,和,T,并计算单位阶跃响应的特征量,t,d,t,r,和,t,s,。,得,R,(,s,),(,-,),C,(,s,),化为标准形式,即有,2,n,=1/,T,m,=5,n,2,=,K,/,T,m,=25,解：系统闭环传递函数为,解得,n,=5,=0.5,例,3-2,已知图中,T,m,=0.2,，,K,=5,，,求系统单位阶跃响应指标。,例,3-3,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,解：,图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,0,t(s),1,1.3,0.1,h(t),