第九章： 随机优势

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 随机优势,前几章的分析方法是由,Ramsay,和,von Neumann,等提出的，其基本思想是，在适合一定的公里体系的条件下，一随机事件的效用能用它的期望效用去表示。,1962,年后又发展了另外一种在风险情况下制定决策的方法，称为随机优势法（或随机占优）。应用于有价证券等财经问题，其目的是筛掉那些不占优势的方案。,优势原则（随机优势原则）,优势概念应用的主要领域是财政和经济。有价证券问题的研,究最有名的是,1959,年,Markowitz,提供的方法。优势原则对于理解,和解决有价证券问题起了重要的作用。此外，虽然有价证券问题,有其特殊的结构，但这种类型的决策问题仍然散布在财政、金,融、保险、经济和其他有关领域中。,用一个简单的例子说明优势原则。,1.,按状态优于,：,定义,：,l(,a,i,),l(,a,j,),且至少对某一个,，,严格的不等式成立,，,则称,a,i,按状态优于,a,j,.,例，损失矩阵如下，,a,1,按状态优于,a,2,a,1,a,2,a,3,q,1,4,7,2,q,2,6,6,8,q,3,3,4,7,同样，可以称,a,1,较之,a,2,处于优势,(,具有随机优势,),或称,a,2,处于被支配地位,3.,Markowitz,模型,方差给定,(,相同,),，均值大者为优。,二,.,有价证券问题的,Markowitz,模型,Markowitz,于,1952,年提出了资产选择的均值,方差模型，它以资产回报的均值和方差作为选择的对象而不去考虑个体的效用函数。一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体选择时所需要的信息。但是，在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产的均值和方差的函数，从而投资者可以只把资产回报的均值和方差作为选择的目标。尽管均值,方差模型不能用来完全刻画个体的偏好，但由于它的灵活性以及经验上的可检验性，均值,方差模型分析得到了广泛的应用。,设一决策人将投资一定数额的资金于,n,种产业（或公债），如,R,i,是决策人在固定的投资周期内投资于产业,i,的估计的每元收益，而,x,i,是他的资金分配到产业,i,的百分比。则他在有价证券投资的回收为,R,=,R,1,x,1,+,R,2,x,2,+,R,n,x,n,(,x,1,x,2,x,n,),称为有价证券组合（,portfolio,），,它受到约束,x,1,+,x,2,+,x,n,=1,一般地，,R,i,是随机变量，它表示投资于产业,i,所承担的可能风险。因此,R,也是随机变量，其分布函数为,F,(,r,),，,这个函数依赖于,(,x,1,x,2,x,n,),。,投资人的决策是，选择投资组合,(,x,1,x,2,x,n,),使产生最大的期望收益。,Markowitz,构造的模型是：,(,x,1,x,2,x,n,),受到其它约束,上式中的,E,i,是,R,i,的期望值，,ij,是,R,i,和,R,j,的协方差，,E,是,R,的期望值，即有价证券的平均回收，,V,是,R,的方差。,风险厌恶者追求的目标是回报尽可能的高，而风险尽可能的小。如何在这二者之间进行选择？这两个相互矛盾的目标导致投资者是投资在证券组合上而不是在单一的证券上。,投资者从满足如下条件的证券组合集中选择他的最优证券组合：,1.,对给定的风险水平，回报最大；,2.,对给定的回报，风险水平最小。,满足上面两个条件的证券组合集称为,有效集,（,Efficient Set,ES,）。,定义,7.1,一个证券组合称为,前沿证券组合,，如果它在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差。所有前沿证券组合的集称为,证券组合前沿,。,r,A,图,6.1,均值,标准差平面的证券组合前沿,A,点是无差异曲线的一个全局最小方差点。比,A,点回报率高的证券组合称为,有效证券组合,，有效证券组合形成的集合称为有效集（和前面的定义一致）。,随机占优（,Stochastic Dominance,）,有效集,(ES,越小越好,),第一类效用函数,U,1,=U,U,和,U,在,I,上是连续的和有界的，而且在,I,0,上有,U,0,其中，,I,为,a,b,，,I,0,为,(a,b),其经济意义是具有这样效用函数的决策人一般都认为货币值越多,越好。但是这样定义的效用函数不能分辨决策人对风险的态度，,因为它既可以包含厌恶风险的效用函数，也可以包含追求风险的,或风险中立的效用函数。,效用函数,U,1,类的占优,：一个投资组合,x,A,占优于投资组合,x,B,当且,仅当,EU(,x,A,),EU(,x,B,),U,U,1,U,0,U,1,EU,0,(,x,A,)EU,0,(,x,B,),U,1,中的有效集,：一个投资组合如果不存在任何其他组合占优于,它，则该组合属于,ES,。,对于投资组合,x,A,和,x,B,，,如果存在两个效,用函数,U,1,和,U,2,，,使得,U,1,U,1,EU,1,(,x,A,)EU,1,(,x,B,),U,2,U,1,EU,2,(,x,A,)EU,0,(,x,B,),注意：决策规则,必须与期望效用一致。,2.,一阶随机占优（,First degree stochastic dominance,FSD,）,定理,7.1,令,F,和,G,是两个不同随机事件的累积分布函数，则,F,一阶随机占优于,G,（,即对所有的,U,U,1,，,F,FSD,G,）,当且仅当，对所有的,x,有,F,(,x,),G,(,x,),，,且至少存在某点,x,0,，,使得,F,(,x,0,),G,(,x,0,).,定理,7.1,可以总结为,x,F,(,x,),G,(,x,),，,且,x,0,s.t.,F,(,x,0,),E,G,U,0,(,x,),因此，一阶随机占优是一个最优决策规则，它给出了与期望效用一致的最小有效集,ES.,FSD,的直观解释是：,F,(,x,),G,(,x,),1-,F,(,x,),1-,G,(,x,),x,在,F,下获得至少为,x,的货币值的概率大于在,G,下的相应概率。,如果我们将投资组合视为随机事件，则一阶随机占优有以下几个特点：,如果,F,FSD,G,，则,F,和,G,不重合，但可以有部分公共点；,无效集,IS,中的投资组合并不需要被,ES,中的所有投资组合占优，因为只要被一个投资组合占优即可；,在,IS,中的一个投资组合可以占优于另一个投资组合；,有效集,ES,中的投资组合一定是相交的。,以下条件是,FSD,的必要条件：,F,的期望收益一定大于,G,的期望收益,F,FSD,G,E,F,x,E,G,x,这可以从分部积分以及至少存在一点,x,0,，,使得,F,(,x,0,),G,(,x,0,),E,F,x,E,G,x,E,F,x,E,G,x,E,F,x,E,G,x,F,(,a,)=,G,(,a,)=0,F,(,b,)=,G,(,b,)=1,注意，以上讨论没有涉及方差，显然这样定义的效用函数不能分,辨决策人对风险的态度，因为它既可以包含厌恶风险的效用函,数，也可以包含追求风险的或风险中立的效用函数。,F,的几何平均一定大于,G,的几何平均,F,FSD,G,且,x,i,0 ,x,i,二阶随机占优（,Second degree stochastic dominance,SSD,）,为研究有风险厌恶性质的效用函数，我们把这类效用函数约束到,U,1,的一类严格凹函数中，它们在,I,上有连续的二阶导数，记作,U,2,=U,U,U,1,U,在,I,上是连续的和有界的，在,I,0,上，,U,0,，且存在,x,0,，使,U,(x,0,)0,和,I=,a,b,，且,a,0,；,对数函数,U(,x,)=,log,x,，当,I,为包含在（,0,）中的一有界闭区间；指数函数,U(,x,)=-,e,-,cx,，当,c0,和,I=,a,。,下面定理给出二阶随机占优投资规则：,定理,6.2,令,F,和,G,是两个不同随机事件的累积分布函数，则,F,二阶随机占优于,G,，,即对所有的,U,U,2,，,F,SSD,G,当且仅当，,这定理等价于,E,F,U,(,x,),E,G,U,(,x,),U,U,2,，,且,U,0,U,2,s.t.,E,F,U,0,(,x,),E,G,U,0,(,x,),SSD,的积分条件,I(,x,),0,隐含着,F,和,G,之间的直到每一点的累积分布之差（,cumulative difference,）,都是非负的。对于两个分布函数的相交次数没有限制。,直观上，,F,SSD,G,意味着对于,F,-,G,的任意非负区域，存在一个负的区域至少在数量上与之相等。所以，比较期望效用的差异,下面的规则是,FSD,的一个充分条件，意味着它与期望效用并不矛盾。,F,FSD,G,F,SSD,G,F,的期望值一定大于或等于,G,的期望值,E,F,x,E,G,x,=,F,SSD,G,E,F,x,E,G,x,注意，积分对于某个,x,0,必须是严格正的，但是在,x,=b,只需是非负的。,F,的几何平均一定大于或等于,G,的几何平均,F,SSD,G,“剩余尾部”条件：,F,SSD,G,Min,F,(,x,),Min,G,(,x,),假设,Min,F,(,x,)Min,G,(,x,),且,Min,F,(,x,)=,x,k,即必要条件不成立,F,SSD,G,由于,SSD,对任意的凹效用函数成立，所以对,U(,x,)=-(,x,-E,x,),2,也成立。利用这个效用函数，可以证明，如果,F,SSD,G,且有相同的均值,E,F,x,=,E,G,x,，则,G,有更高的方差，,Var,F,(,x,),Var,G,(,x,),F,SSD,G,且,E,F,x,=,E,G,x,Var,F,(,x,),Var,G,(,x,),但是反之不成立,Var,F,(,x,)0,U,3,类的决策者是风险厌恶的，而且此类决策者遵循,TSD,规则，更偏好于正的非对称性。,如果两个投资具有相同的均值和方差，则具有,U,3,类效用函数的投资者将会选择最不对称的投资。假设,U,0,隐含着,U,(,x,),递减的凹函数。,定理,6.3,令,F,和,G,是两个不同随机事件的累积分布函数，则,F,三阶随机占优于,G,，,即对所有的,U,U,3,，,F,TSD,G,当且仅当下面两个条件成立，,E,F,x,E,G,x,F,比,G,更受偏爱可能是由于,F,有更高的均值、更低的方差或者更高的偏斜。,下面的规则是,TSD,的一个充分规则，意味着它与期望效用理论不矛盾。,FSD,SSD,TSD,递减的绝对风险厌恶度隐含着,U,0,，,且有这种特征的效用函数类记作,U,d,，,它是,U,3,的子集。随机占优可以在,U,d,中定义。,假设我们有效用函数的,n,阶导数的信息，则也可以定义,n,阶随机占优。,随机优势排序和,EV,排序的关系,如果,F,=,G,，,则,F,SSD,G,或,F,TSD,G,的必要（但非充分）条件是,F,G,，在,SSD,的情况应有严格不等式。,如果,F,G,，则,条件,F,G,对于,F,F,SD,G,，,或者,F,SSD,G,，,或者,F,TSD,G,，,既非必要也非充分。,对不确定后果进行建模，通常有两种方法：随机占优,(stochastic dominance),和均值,-,风险,(mean-risk),方法。前者建立在风险厌恶的基础上，但没有提供一个方便的计算方法；后者将两个准则明确地进行量化，但模型中没有体现风险厌恶的态度。特别地，如果以方差作为风险的估计，一般来讲，,Markowitz,的均值,-,方差模型与随机占优规则是不相容的。,但是，如果以标准半离差（半方差的平方根）作为风险的测度，可使均值,-,方差模型与二阶随机占优一致，,假如交易系数是以常数为上界的。类似地，以绝对半离差或绝对标准离差作为风险的测度，在对称有界的分布下，也有类似的结论。,均值,风险方法的一种特殊表示方法：最大化形式为,的标量目标，其中,0,是交易系数。,其中 表示随机事件