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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第2课时,等比数列的性质,定义：一般地，如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做,等比数列的公比，,公比通常用字母,q,表示,(q0).,如果一个数列,是等比数列，它的公比是,q,，那么,，,，,由此可知，等比数列 的通项公式为,1.,理解并掌握等比数列的性质及其初步应用,.,(,重点、难点）,2.,引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力,(1),1,，,2,，,4,，,8,，,16,，,观察数列,(3)4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,(4)1,，,-1,，,1,，,-1,，,1,，,-1,，,1,，,公比,q=2,公比,q=,公比,q=1,公比,q=-1,探究点,1,：等比数列的图象,等比数列的图象,1,数列：,1,，,2,，,4,，,8,，,16,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,O,递增数列,通过图象观察性质,等比数列的图象,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,O,数列：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,递减数列,等比数列的图象,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,O,数列：,4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,4,，,常数列,等比数列的图象,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,O,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,数列：,1,，,-1,，,1,，,-1,，,1,，,-1,，,1,，,摆动数列,-,1,在,6,和,768,之间插入,6,个数，使它们组成共,8,项的等比数列，则这个等比数列的第,6,项是,_,【,解析,】,a,8,a,1,q,7,768,6,q,7,，,q,2,，,a,6,62,5,192.,【,即时练习,】,192,类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？,探究点,2,：,等差、等比数列的性质比较,a,n,-a,n-1,=,d,（,n,2,）,等差数列,等比数列,常数,减,除,加,乘,加,-,乘,乘,乘方,迭加法,迭乘法,等比数列用,“,比,”,代替了等差数列中的,“,差,”,定义,数学表,达式,通项公式证明,通项 公式,提示,:,由等差数列的性质，猜想等比数列的性质,a,n,是公差为,d,的等差数列,b,n,是公比为,q,的等比数列,性质,1,：,a,n,=a,m,+(n-m)d,性质,2,：若,a,n-k,a,n,a,n+k,是,a,n,中的三项，,则,2a,n,=a,n+k,+a,n-k,猜想,2,：,性质,3,：若,n+m=p+q,则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,猜想,1,：,若,b,n-k,b,n,b,n+k,是,b,n,中的三项,则,若,n+m=p+q,，则,b,n,b,m,=b,p,b,q,猜想,3,：,性质,4,：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为,2d.(,可推广,),性质,5:,若,c,n,是公差为,d,的等差数列，则数列,a,n,+c,n,是公差为,d+d,的等差数列,.,若,d,n,是公比为,q,的等比数列,则数列,b,n,d,n,是公比为,q,q,的等比数列,.,猜想,4,：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为,(,可推广,),猜想,5,：,若数列,a,n,是公比为,q,的等比数列,则,当,q1,a,1,0,或,0q1,a,1,1,a,1,0,或,0q0,时,a,n,是递减数列,;,当,q=1,时,a,n,是常数列,;,当,q0.,(3)a,n,=a,m,q,n-m,(n,mN,*,).,(4),当,n+m=p+q(n,m,p,qN,*,),时,有,a,n,a,m,=a,p,a,q,.,(5),当,a,n,是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积,.,【,知识提升,】,(7),若,b,n,是公比为,q,的等比数列,则数列,a,n,b,n,是公比为,qq,的等比数列,.,(6),数列,a,n,(,为不等于零的常数,),仍是公比为,q,的等比数列,.,(9),在,a,n,中,每隔,k(kN,*,),项取出一项,按原来顺序排,列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为,q,k+1,.,(10),当,m,，,n,，,p(m,，,n,，,pN,*,),成等差数列时，,a,m,a,n,a,p,成等比数列,.,(8),数列,是公比为,的等比数列,.,在等比数列,a,n,中，,a,n,0,，,a,2,a,4,+2,a,3,a,5,+,a,4,a,6,=36,那么,a,3,+,a,5,=_.,6,【,即时练习,】,例 已知,a,n,、,b,n,是项数相同的等比数列，求证,a,n,b,n,是等比数列,.,证明：,设数列,a,n,的首项是,a,1,，公比为,q,1,;,b,n,的首项为,b,1,，公比为,q,2,，那么数列,a,n,b,n,的第,n,项与第,n+1,项分别为：,它是一个与,n,无关的常数，所以,a,n,b,n,是一个以,q,1,q,2,为公比的等比数列,.,已知等比数列 的公比为,q,，记 ，,c,n,=a,m,(,n-,1),+,1,a,m,(,n-,1),+,2,a,m(n-,1,)+m,(m,nN,*,),，,则以下结,论一定正确的是（）,A.,数列 为等差数列，公差为,B.,数列 为等比数列，公比为,q,2m,C.,数列 为等比数列，公比为,D.,数列 为等比数列，公比为,【,变式练习,】,【,解题指南,】,如何判定一个数列是等差或等比数列，,注意一定是作差，或作比，看看是不是常数,.,【,解析,】,选,C.,显然，不可能是等比数列；是等比数列；证明如下：,（）,A,7 B.5 C,-5 D,-7,1.,已知,为等比数列，,，,，,【,解析,】,选,D.,，,D,则,2.,如果,-1,，,a,，,b,，,c,，,-9,成等比数列，那么,(,),A.b=3,，,ac=9 B.b=-3,，,ac=9,C.b=3,，,ac=-9 D.b=-3,，,ac=-9,【,解析,】,选,B.,b,是,1,，,9,的等比中项，,b,2,9,，,b,3,，又由等比数列奇数项符号相同，得,b,0,，故,b,3.,而,b,又是,a,，,c,的等比中项，故,b,2,ac,，,ac,9.,B,D,4.,在等比数列,a,n,中，,a,15,=10,a,45,=90,则,a,30,=_.,5.,在等比数列,a,n,中，,a,1,+a,2,=30,a,3,+a,4,=120,则,a,5,+a,6,=_.,30,480,或,-30,6,.,的等比中项是,_.,7,.,已知正数等比数列,中，,对所有的自然数,n,都成立，则公比,q,=_.,1.,证明或判断一个数列为等比数列的方法,:,(1)=q(n,2,且,q0,)a,n,为等比数列,.,(,适用于选择题、填空题和解答题,),(2)a,n,=cq,n,(c,q0),a,n,为等比数列,.,(,适用于选择题、填空题,),(3)a,2,n+1,=a,n,a,n+2,a,n,为等比数列,.,(,适用于选择题、填空题,),2,.等差、等比数列的判定方法,比较,定义法,中项法,a,n+1,-a,n,=d(d,为常数,),方法,分类,等差数列,等比数列,2a,n+1,a,n,+a,n+2,（,nN,*,）,3.,等比数列的性质,:,(1)a,n,=a,m,q,n-m,（,n,mN,*,）,(2),若,m+n=p+q,，则,a,m,a,n,=a,p,a,q,（,m,n,p,qN,*,）,(3),等比数列中，每隔,k,项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,.,(4)a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,仍为等比数列,.,(5),在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项,.,珍惜现在，别在毫无意义的事情上浪费时间。,
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