人工智能的数学基础144

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,郑州大学振动工程研究所 电话 03716,7881792,单击此处编辑母版标题样式,#,李 凌 均,郑州大学振动工程研究所,十月 24,第二章 人工智能的数学基础,第二章,人,人工,智,智能的,数,数学基,础,础,人工智,能,能的数,学,学基础,有,有：逻,辑,辑学、,概,概率论,、,、模糊,理,理论。,逻辑,经典命,题,题逻辑,一阶谓,词,词逻辑,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,2.2,多,多值,逻,逻辑,2.3,概,概率,论,论,2.4模糊理,论,论,非经典,逻,逻辑,多值逻,辑,辑、模,糊,糊逻辑,模态逻,辑,辑、时,态,态逻辑,具有真,假,假意义,本章内,容,容：,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,2.2,.,.1.,命,命题,一个具,有,有真假,意,意义的,陈,陈述句,，,，称为,命,命题。,命,命题通,常,常用大,写,写的英,文,文字母P，Q,，,，R等来表,示,示,命题是,具,具有或,真,真或假,的,的含义,的,的。如,果,果一个,命,命题的,真,真值为,真,真则用T(或1),表,表示，,若,若为假,则,则用F(或0),表,表示,下面的,例,例子均,是,是命题,：,：,(1),郑,郑州,大,大学是,一,一所综,合,合性大,学,学。（T）,(2)2+2=5,（,（F）。,(3)今天是,个,个好天,气,气。（T）,(4),每,每一,个,个奇数,都,都是素,数,数。（F）,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,下面的,例,例子都,不,不是命,题,题：,(1),现,现在,是,是几点,钟,钟？(,疑,疑问句,）,）,(2)x-y2,（,（其真,假,假值随x、y,的,的变化,而,而变化,，,，不能,确,确定。,）,）,(3),我,我在,说,说假话,。,。（悖,论,论，真,作,作假时,假,假亦真,，,，假作,真,真时真,亦,亦假）,(4),请,请安,静,静！（,祈,祈使句,）,）,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,命题逻,辑,辑的局,限,限性：,在命题,逻,逻辑中,我,我们研,究,究的最,小,小单位,是,是句子,即命,题,题，它,无,无法把,所,所要描,述,述的客,观,观事物,的,的结构,及,及逻辑,关,关系反,映,映出来,。,。也无,法,法把不,同,同对象,的,的共同,特,特征表,述,述出来,。,。很多,问,问题仅,用,用命题,逻,逻辑是,解,解决不,了,了的、,表,表达不,清,清的。,由,由此发,展,展了谓,词,词逻辑,。,。,2.1,.,.2.,谓,谓词：,在谓词,逻,逻辑中,引,引入谓,词,词来表,示,示命题,。,。一个,谓,谓词分,为,为谓词,名,名和个,体,体2部,分,分，谓,词,词用于,描,描述个,体,体的性,质,质、状,态,态或个,体,体之间,的,的关系,。,。个体,就,就是要,被,被描述,的,的某个,独,独立存,在,在的事,物,物或某,个,个抽象,的,的概念,。,。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,例1：张华,是,是大学,生,生。其,中,中“张,华,华”是,个,个体，,“,“是大,学,学生”,是,是谓语,。,。于是,我,我们可,引,引入一,个,个谓词S（x,),)来表示x是大学,生,生，张,华,华代以x就表示张华是,大,大学生,。,。S（x,),)涉及到,一,一个变,元,元，称,为,为一元,谓,谓词，,一,一元谓,词,词表示,个,个体的,属,属性。,例2：,张,张华比,李,李玲高,。,。其中,“,“张华,”,”和“,李,李玲”,是,是个体,，,，“,比,比高,”,”是谓,词,词，因,为,为涉及,到,到两个,个,个体，,所,所以我,们,们可以,用,用一个,二,二元谓,词,词G（x,y)表示x高于y,将张华,代,代以x,李玲代,以,以y,则表示,张,张华比,李,李玲高,。,。若用,李,李玲代,以,以x,张华代以y,则表示,李,李玲高,于,于张华,。,。也就,是,是说谓,词,词中客,体,体变元,的,的顺序,一,一经定,义,义就不,能,能随意,改,改变了,。,。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,有多个,变,变元的,谓,谓词称,为,为多元,谓,谓词，,多,多元谓,词,词表示,多,多个客,体,体之间,的,的关系,。,。,谓词中,的,的个体,可,可以是,常,常量，,也,也可以,是,是变元,或,或函数,。,。,谓词的,语,语义是,由,由使用,者,者定义,的,的，一,旦,旦被定,义,义意义,就,就明确,。,。,当谓词,中,中的变,元,元全部,用,用特定,的,的个体,取,取代时,，,，谓词,就,就有了,确,确定的,真,真值T or F。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,连接词,象在整,数,数或实,数,数集合,上,上可以,进,进行+,，,，-，,*,*，/,运,运算一,样,样，在,命,命题集,合,合上也,可,可以进,行,行运算,，,，形成,新,新的命,题,题。常,用,用的命,题,题运算,符,符亦称,为,为连接,词,词有:,：非：合取(与)，：析取(或)，：条件,或,或蕴涵,，,，：双条,件,件(当且仅,当,当),2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,2.1,.,.3.,谓,谓词,公,公式：,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,逻辑连,接,接词非,“,“”：如,果,果P是一个,命,命题，,那,那麽P是一个,命,命题，,它,它的真,值,值是这,样,样定义,的,的：P真(1)，P假；P假(0)，P真。可,以,以用如,下,下的一,个,个所谓,真,真值表,来,来表示,：,：,这里应,该,该注意,的,的是,P是对整,个,个命题P的否定,，,，而不,是,是对命,题,题P的部分,成,成分否,定,定。,是一,个,个一元,逻,逻辑连,接,接词。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,P,P,0,1,1,0,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,逻辑连,接,接词合,取,取“”：,如,如果P是一个,命,命题，Q是一个,命,命题，,那,那麽PQ是一个,命,命题，,它,它的真,值,值是这,样,样定义,的,的：当且仅,当,当P和Q同时为,真,真时，PQ的值为,真,真，其,余,余情况,均,均为假,。,。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,P,Q,P,Q,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,其真值,表,表如右,：,：,“”是,一,一个二,元,元逻辑,连,连接词,。,。这是,一,一个复,合,合命题,，,，可以,读,读作合,取,取或“,和,和”、,“,“and,”,”。,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,例如令P：曹老师,是,是教授,。,。,Q：王晓离,散,散数学,不,不及格,。,。,则PQ：曹老师,是,是教授,并,并且王,晓,晓离散,数,数学不,及,及格,注意这,两,两件事,在,在日常,生,生活中,可,可能是,毫,毫不相,干,干的事,情,情，但,在,在命题,逻,逻辑中,是,是有意,义,义的，,即,即P和Q的真值,定,定下来,，,，PQ的真值,就,就可求,。,。,再例如,令,令P：今天是,晴,晴天。,Q：欢欢是,大,大熊猫,。,。,于是PQ：今天是,晴,晴天并,且,且欢欢,是,是大熊,猫,猫。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,逻辑连,接,接词析,取,取“,”,”:如,果,果P是一个,命,命题，Q是一个,命,命题，,那,那麽PQ是一个,命,命题，,并,并且它,的,的真值,是,是这样,定,定义的,：,：当且仅,当,当P和Q同时为,假,假的时,候,候PQ的值才,为,为假，,否,否则其,值,值为真,。,。其真值,表,表如下,：,：,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,P,Q,P,Q,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,“”,可,可以读,作,作析取,也,也可以,读,读作“,或,或”,、,、,“or”,，它是,个,个二元,逻,逻辑连,接,接词。,但,但它仅代表,日,日常生,活,活中的,可,可兼容,或,或，不,代,代表排,斥,斥或。,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,例如令P：今天下,午,午3点,我,我去讲,课,课。,Q：今天下,午,午3点,我,我去游,泳,泳。,日常生,活,活中可,能,能会说,，,，今天,下,下午3,点,点我去,讲,讲课或,今,今天下,午,午3点,我,我去游,泳,泳。这,里,里的或,是,是一种,排,排斥或,(,(也称,异,异或）,，,，不能,使,使用逻,辑,辑连接,词,词“”来表示,，,，也就,是,是说不,能,能用PQ：来表示,今,今天下,午,午3点,我,我去讲,课,课或今天下,午,午3点,我,我去游,泳,泳。但,下,下面的,例,例子可,以,以用析,取,取来表,示,示。,P：李明在,教,教室。,Q：王鹏去,公,公园。,于,于是PQ表示：李明在,教,教室或,王,王鹏去,公,公园。,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,逻辑连,接,接词单条件“”：,如,如果P是一个,命,命题，Q是一个,命,命题，,那,那麽PQ是一个,命,命题，,表,表示P蕴涵Q，即：如,果,果P，则Q。P成为条,件,件的前,件,件，Q成为条,件,件的后,件,件。它,的,的真值,是,是这样,定,定义的,：,：,P,Q,P,Q,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,当且仅,当,当前件,为,为真后,件,件为假,的,的时候,，,，PQ的值才,为,为假，,其,其余情,况,况均为,真,真。其真值,表,表如右,：,：,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,例如令P：今天有,雨,雨。Q：我带雨,伞,伞。,于是PQ：如果,今,今天有,雨,雨，那,麽,麽我带,雨,雨伞。,如,如果我,们,们指定P为真代,表,表今天,有,有雨，,那,那麽P为假表,示,示今天,没,没有雨,，,，指定Q真为我,带,带雨伞,，,，那麽,我,我没带,雨,雨伞为Q假。现,在,在我们,来,来分析,上,上面真,值,值表的,各,各种情,况,况：,1、P=0,，,，Q=0即今天,没,没雨，,我,我没带,雨,雨伞。PQ=1即,成,成功。,2、P=0,，,，Q,=,=1即今天,没,没雨，,我,我带雨,伞,伞。PQ=1也,成,成功（,带,带雨伞,也,也没错,）,）,2.1,命,命题,逻,逻辑与,谓,谓词逻,辑,辑,郑州大,学,学振动,工,工程研,究,究所,电,电话037167881792,3、P=1,，,，Q,=,=0,PQ=0即,今,今天有,雨,雨，我,没,没带雨,伞,伞，挨,淋,淋，失,败,败。,4、P=1,，,，Q,=,=1,PQ=1即,今,今天有,雨,雨，我,带,带雨伞,。,。成功,。,。,由上面,的,的例子,可,可以看,出,出，PQ真值的,规,规定是,符,符合常,规,规逻辑,的,的。再,看,看一个,例,例子,令P：学生不,听,听话。,（,（并指,派,派为真,）,）Q：老师管,教,教学生,。,。（并,指,指派为,真,真）于,是,是P=0,，,，Q=0，PQ：