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,刘,习军 贾启芬,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,振动,是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作,往复运动,。,物理学知识的深化和扩展,物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,振动属于动力学第二类问题,已知主动力求运动。,引 言,1.1,振动及其分类,1.2,振动激励函数,1.3,简谐振动,1.4,周期振动的谐波分析,1.5,非周期函数的连续频谱,第,1,章 振动的基本知识,振动问题的研究方法,：,选择合适的广义坐标；,分析运动；,分析受力；,选择合适的动力学定理；,建立运动微分方程；,求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,所考察的系统既有惯性又有弹性。,运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。,振动问题的共同特点,按系统的自由度划分：,单自由度,振动一个自由度系统的振动。,多自由度,振动两个或两个以上自由度系统的 振动。,连续系统,振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。,一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题来决定。,1.1,振动及其分类,简化成一个自由度,c,1,简化成二个自由度,按系统特性或运动微分方程类型划分：,振动问题的分类,线性振动系统的运动微分方程为线性方程。,非,线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程。,线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。,非线性振动的叠加原理不成立。,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动,没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。,受迫振动,系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。,按激励特性划分：,随机振动,系统在非确定性的随机激励下所作的振动。另外，物理参数具有随机性质的系统发生的振动也属于随机振动。,参激振动,激励因素以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。荡秋千、拉小提琴、拉二胡、车床切削颤振等。,振动的危害,地震、交通工具车、船、飞机在运行工程中的振动、振动会产生噪声。,在大多数机器、机械结构和动态系统中都不希望发生振动。振动会降低机床的精度、降低仪器仪表的准确性及其工作寿命。,利用振动为人类服务,19,世纪瑞士人发明了钟表，利用摆振计时，而 现在的石英钟利用晶振进行更准确的计时。,利用振动机理发明了振动机械，如振动压路机、 混凝土导振器、振动沉桩机等。,在连续时间范围内（,t,）有定义的函数称为连续时间函数，简称,连续函数,。,仅在一些离散的瞬间有定义的函数称为离散时间函数，简称,离散函数,。,1.2,振动激励函数,周期函数是定义在（，）区间，每隔一定时间,T,（或整数,N,），按相同规律重复变化的函数。,连续周期函数,可表示为,f,(,t,) =,f,(,t,+,m T,),m,= 0, 1, 2, ,离散周期函数,可表示为,f,(,k,) =,f,(,k,+,m T,),m,= 0, 1, 2, ,k,为离散值。,物理可实现的函数常常是时间,t,（或,k,）的函数（或序列），,其在各时刻的函数（或序列）值为实数，称为,实函数,。,函数（或序列）值为复数的函数称为,复函数,。最常用的是,复指数函数,。连续时间的复指数函数可表示为,式中复变量 ， 是,s,的实部，记作,Re,s,是,s,的虚部，记作,Im,s,。,一个复指数函数可分解为实、虚两部分,(,均为实函数,),，即,t,根据欧拉公式，上式可展开为,1.,冲激函数,冲激函数也称单位脉冲,(unit impulse),函数，用,(,t,),表示，,函数的定义是,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数,1,。,1.,冲激函数,单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义,:,若将,(,t,),看成是力函数，则,(,t,),是图,(a),所示冲量为,1,的矩形脉冲在脉宽,0,时的冲击力的极限情况（图,(b),）。,（,1,）,p,为常数,；,（,3,）,该式表明,Dirac,函数的抽样特性。,（,2,）它的傅里叶变换：,这一特性表明，单位脉冲激振力提供白谱。,(4),尺度变换特性。设,a,为常数，则有,Dirac,函数有以下特性：,单位阶跃函数也称阶跃函数，用 表示，即,单位阶跃函数有以下特性：,2.,单位阶跃函数,3.,冲激函数与阶跃函数的关系,1.,用正弦函数表示简谐振动,用时间,t,的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为,一次振动循环所需的时间,T,称为周期；单位时间内振动循环的次数,f,称为频率。,周期,T,的单位为秒（,s,），频率,f,的单位为赫兹（,Hz,），,圆频率 的单位为弧度,/,秒（,rad/s,）。,振幅,圆频率,初相位,1.3,简谐振动,图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左边半径为,A,的圆上一点作等角速度 的运动时在,x,轴上的投影。,如果视,x,为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间,t,的一阶和二阶导数，即,可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。,在相位上，速度和加速度分别超前位移 和 。,重要特征,:,简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。,可得到加速度与位移有如下关系,旋转矢量,OM,的模为振幅,A,，角速度为圆频率 ，任一瞬时,OM,在纵轴上的投影,ON,即为简谐振动表达式,2.,用旋转矢量表示简谐振动,记,复数,复数,Z,的实部和虚部可分别表示为,简谐振动的位移,x,与它的复数表示,z,的关系可写为,3.,用复数表示简谐振动,由于,用复数表示的简谐振动的速度加速度为,也可写成,是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。,1.,两个同频率振动的合成,有两个同频率的简谐振动,由于,A,1,、,A,2,的角速度相等，旋转时它们之间的夹角,( ),保持不变，合矢量,A,也必然以相同的角速度 作匀速转动,由矢量的投影定理,A =A,1,+,A,2,即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。,2,.,两个不同频率振动的合成,有两个不同频率的简谐振动,有理数,当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。,合成的周期,若 与 之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。,若 ，对于 ，则有,返回首页,Theory of Vibration with Applications,令,它的包络线,这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个具有慢变振幅的振动。,拍频,拍频率,包络线,式中的 完成了几个循环后， 才能完成一个循环。这是一个频率为 的变幅振动，振幅在 与,零,之间缓慢地周期性变化。,周期振动,展成傅氏级数,一个周期,T,中的平均值,n,=1,2,3,n,=1,2,3,1.4,周期振动的谐波分析,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。,这种分析振动的方法称为频谱分析。,由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。,这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。,例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数,F,(,t,),可表示为,表示,F,(,t,),的波形关于,t,轴对称，故其平均值为零。,n,=1,，,2,，,3,于是，得,F,(t),的傅氏级数,F,(,t,),是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。,F,(,t,),的幅值频谱如图所示。,函数,f,(,t,),的傅氏积分公式,f,(,t,),的傅氏变换,的傅氏逆变换,又称非周期函数,f,(,t,),的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。,连续频谱,f,(,t,),称为非周期函数,1.5,非周期函数的连续频谱,例 试求图所示的单个矩形脉冲的频谱图形。,可求得频谱函数,f,(,t,),的傅氏积分为,解,:,f,(,t,),可表示为,其振幅频谱,频谱图,傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器,(FFT),。,谢谢,
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