chap7常微分方程数值解法

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,7:,ODE,*,第,7,章,常微分方程（组）的数值解法,刘东毅,天津大学理学院数学系,1,7:,ODE,第7章,常微分方程（组）的数值解法,主要目标：,掌握常微分方程初值问题数值解法的基本理论,掌握计算机上的常用算法,主要内容：,初值问题计算格式的建立,Runge,-,Kutta,方法,一阶常微分方程组与高阶方程的数值解法,2,7:,ODE,第,7,章,常微分方程（组）的数值解法,在科学研究和工程实践中会遇到很多微分方程，虽然从理论上可以证明其解的存在性，但其解的解析表达式往往是很难求解的，或者即使可以写出来，但也难于计算，此时，只能借助数值解来解决问题,.,常微分方程（组）定解问题是自然科学和工程技术领域中常见的数学模型. 本章介绍,求解此类问题,的基本理论和,数值解法。,3,7:,ODE,定义7.0.1 若存在常数,L, 0,使得对一切的,x,a,b,及,y, ,均有,则称,f,(,x,y,),在,D,上关于,y,满足,Lipschitz,条件, 其中,L,称为,Lipschitz,常数.,我们首先考虑一阶常微分方程,初值问题,其中,f,(,x,y,),是区域,上的实值函数.,(7.0.1),4,7:,ODE,我们首先给出常微分方程初值问题解的存在惟一性定理。,定理 假设,f,(,x,y,),C,(,D,),且关于,y,满足,Lipschitz,条件, 则一阶常微分方程初值问题(7.0.1),存在唯一解,.,下面在此前提下,我们讨论,上述初值问题 (7.0.1),的,数值解法。,5,7:,ODE,然后在节点上建立逼近于原初值问题的计算格式 (或差分格式), 由此计算出,原问题的解,y,(,x,),在节点,x,1,x,2,. . .,x,N,处的近似值：,y,1,y,2,. . .,y,N,，,称它们为,常微分方程初值问题的数值解,.,相邻两个节点的距离,h,n,=,x,n,+1,-,x,n,称为,步长,通常取定步长,h, 0, 即节点,x,n,=,x,0,+,nh,n,= 0,1, ,N,.,其,基本思想是,在区间,a,b,上引入一系列节点,6,7:,ODE,7.1,初值问题计算格式的建立,1.,数值微分方法,在等距节点下讨论问题. 利用两点数值微分公式,7.1,.1,计算格式的建立,将上式代入初值问题 (7.0.1),有,(7.1.1),7,7:,ODE,略去余项, 并以数值解,y,n,y,n,+1,代替,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),则得,差分方程,上式称为,Euler,公式,. 利用此式可由初值,y,0,出发按“步进式” 方法, 逐步求得数值解,y,1,y,2,. . .,y,N,.,由于计算,y,n,+1,时, 只用到它前一步的结果,y,n, 这类公式称为,单步法,. 又因为其关于,y,n,+1,是显式形式, 故称该,Euler,公式为,显格式,.,8,7:,ODE,如果,利用下列数值微分公式,由,类似的可导出,上述公式称为,后退的,Euler,公式, 此公式为单步法公式. 又因为它关于,y,n,+1,成隐式形式, 所以该公式为,隐式公式,，简称,隐格式,.,9,7:,ODE,类似地，可导出,上述公式称为,Euler,两步法,公式,. 这因为，当计算,y,n,+1,时, 要用到,y,n,-1,与,y,n,. 显然它也是显格式.,如果,利用下列三点数值微分公式,(,7.1.3,),10,7:,ODE,设,y,(,x,),C,2,a,b,由,Taylor,公式有,由于 故上式即为,略去余项, 并以,y,n,y,n,+1,代替,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),得到的差分方程正是,Euler,公式.,(7.1.4),2.,Taylor,展开,法,11,7:,ODE,3.,数值积分方法,对 ，在区间 ,x,n,x,n,+1,上积分，得,则有,对上式中的积分采用不同的数值积分公式可得到不同的差分方程. 例如, 对上式的积分采用左矩形公式, 可得到,Euler,公式,.,12,7:,ODE,若对此式的积分采用梯形公式,则有,若略去余项, 以,y,n,y,n,+1,代替,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),得到的差分方程,13,7:,ODE,上式称为,梯形公式,. 由于它关于,y,n,+1,成隐式形式, 故其为,隐格式,.,隐格式求解比较困难, 当,y,n,已知时, 要求,y,n,+1,，,需解关于,y,n,+1,的非线性方程. 在实际应用时, 上式常与,Euler,公式联合使用, 构成如下计算格式:,(7.1.6),14,7:,ODE,隐式梯形公式的迭代格式,(7.1.7),由,上式可以得到一个序列: ,k,= 0,1,关于此序列的收敛性, 有如下的定理.,15,7:,ODE,定理 7.1.1,设,f,(,x,y,),在区域,D,上关于,y,满足,Lipschitz,条件, 即,其中,L,为,Lipschitz,常数, 当步长 时, 对任意的初值 按格式（7.1.7）,生成的序列 收敛于梯形公式（7.1.6）,的解,.,16,7:,ODE,为了减少计算量, 可采用,预测,-校正格式,. 方法是先用,Euler,公式求得一个初始近似值,称为,预测值, 再把 带入梯形公式右端计算一次求得,y,n,+1,称之为,校正值, 即,预测:,校正:,上式称为,预测,-,校正公式,或,改进的,Euler,公式,. 上式也可写成如下形式:,17,7:,ODE,例,7.1.1,：,利用,Euler,公式与改进的,Euler,公式求解初值问题（步长,h = 0.1,）,解：由步长,h=0.1，,知节点,设数值解为 利用,Euler,公式得,18,7:,ODE,计算结果见下表(见书,P227,表7.1),此初值问题的解析解为,从上表可以看出,数值解,y,n,与解析解,y(,x,n,),比较,y,n,精度较差,.,19,7:,ODE,解此问题的改进的,Euler,公式为,同,Euler,公式比较, 改进的,Euler,法显然精度提高了.,由于误差大小是评价计算格式优劣的重要依据,故需要给出有关误差的概念.,计算结果见下表(见书,P228,表7.2),20,7:,ODE,7.1.2,截断误差与方法的精度,定义 7,.1.1,称误差,e,n+1,=,y,(,x,n,+1,),-,y,n,+1,为,数值方法在点,x,n,+1,的截断误差, 又称,整体截断误差,.,设,y,k,=,y,(,x,k,) (,k,= 0,1,. . .,n,)，,则,为数值方法在点,x,n,+1,的,局部截断误差,.,21,7:,ODE,整体截断误差,e,n+1,是在没有,引进舍入误差,的情况下,纯粹因为不准确的计算格式造成的, 故又称为,方法误差,.它不仅与,x,=,x,n,+1,这一步的计算有关, 而且和,x,n,x,n,-1,. . .,x,1,这几步的计算都有关系,.,局部截断误差是假设,x,n,之前各数值解没有误差,仅由,x,n,到,x,n,+1,这一步,计算由计算格式引起的误差,.,22,7:,ODE,如,Euler,公式,在点,x,n,+1,的整体截断误差,e,n+1,=,y,(,x,n,+1,),-,y,n,+1,局部截断误差,23,7:,ODE,定义7,.1.2,若某数值方法的局部截,断,误差为,则称该方法具有,P,阶精度, 或称其为,P,阶方法,.,可以证明:,Euler,方法的局部截断误差 其具有,一阶,精度. 梯形方法的局部截断误差 其具有,二阶,精度.改进的,Euler,方法,的局部截断误差,具有,二阶,精度.,24,7:,ODE,7.2 Runge-Kutta,方法,继续讨论前面的,Taylor,展开,法。,设,y,(,x,),C,2,a,b,由,Taylor,公式有,由 故上式即为,略去余项, 并以,y,n,y,n,+1,代替,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),得到,Euler,公式.,25,7:,ODE,进一步假设设,y,(,x,),C,p+1,a,b,由,Taylor,公式有,其中,由 故式(7.2.1)即为,26,7:,ODE,7.2 Runge-Kutta,方法,略去余项,并以数值解,y,n,y,n,+1,代替 (7.2.3) 中的 解析解,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),可得到一个差分方程，即,其中余项可写成,注：这里,27,7:,ODE,在(7.2.3)中,略去余项,用,y,n,y,n,+1,代替,y,(,x,n,),及,y,(,x,n,+1,),其中,称 (7.2.4) 式为求解常微分方程初值问题数值解,Taylor,的格式 .,28,7:,ODE,由于局部截断误差,可知它是一个,p,阶方法。当,p=1,时，上式正是,Euler,公式。但当,p 2,时，需要计算,f,(,x,y,(,x,) ),的高阶导数，特别是对于复杂函数,f,(,x,y,(,x,),的求导，这无疑是大大增加计算量，这是它最大的缺点。因此高阶的,Taylor,方法是不实用的。,德国数学家,C.,Runge,及,M.W.,Kutta,提出了一种改进策略，得到了至今还被作为高精度的单步法广泛使用,龙格-库塔法 (,Runge,-,Kutta,method,)。,29,7:,ODE,7.2.1,Runge,-,Kutta,方法的基本思想,Runge,-,Kutta,方法是,利用,f,在,某些点处函数值的线性组合替代（7.2.4）步长,h,后面括号中的因子来构造差分方程,从而避免了高阶导数的计算, 这就是,Runge,-,Kutta,方法的基本思想,.,用,f,在,某些点处函数值的线性组合替代这一部分,30,7:,ODE,其一般形式为:,其中,r,是上式中调用,f,的个数,r,称为级数，,为待定参数, 适当确定这些参数, 可使之具有尽可能高的精度. 如局部截断误差满足,31,7:,ODE,7.2.2,二阶,Runge,-,Kutta,方法,考虑,r,= 2,的情况, 此时有,利用二元函数的 一阶,Taylor,公式，即全微分公式,希望适当选择参数 使上式的局部截断误差为,即为二阶方法.,下面将,y,n,+1,与,y,(,x,n,+1,),作比较,32,7:,ODE,从而有,将上式代入,再由,33,7:,ODE,得到,在下面要将,y,n,+1,与,y,(,x,n,+1,),作比较，使它们的局部截断误差满足,为此考虑,y,(,x,n,+1,)。,34,7:,ODE,再根据,y,(,x,n,+1,),在点,x,n,的一元,3,阶,Taylor,展开式,由刚才已得到的,让它们满足,35,7:,ODE,即由,左式含有四个未知元三个,方程, 因此,解不唯一,. 参数,满足左式的,一族公式,统称,二阶,Runge,-,Kutta,公式,.,可得参数应满足下列方程组:,36,7:,ODE,取,上式称为,中点公式,.,取,上式称为,Heun,公式,.,可见, 二阶,Runge,-,Kutta,公式, 每计算一步需要,两次调用,f,的函数值,.,取,得,这正是,改进的,Euler,公式,.,37,7:,ODE,7.2.3,四阶,Runge,-,Kutta,方法,当,r,= 4,时,类似地可导出四阶 Runge-Kutta 公式, 这种公式也有一族, 其中常用地有:,标准 (经典) 的,Runge,-,Kutta,方法,38,7:,ODE,Gill,公式,Gill,公式是标准的,Runge,-,Kutta,公式的改进形式, 这种算法可节省存储单元, 并能控制舍入误差的增长.,四阶,Runge,-,Kutta,公式, 每一步计算需四次调用,f,的函数值, 计算量较大, 但其局部截断误差可达,O,(,h,5,),精度较高,.,39,7:,ODE,例7.2.1,用标准的 四阶,Rung-,Kutta,法解初值问题,取步长,h,=0.2,.,解,:,解此问题的计算公式为,x,n,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,y,n,y,n,-,y,(,x,n,),1.183 2,1.341 7,1.483 3,1.612 5,1.732 1,0.000 0,0.000 0,0.000 0,0.000 1,0.000 1,计算结果如下:,显然在计算量大致相同的情,况下, 标准的,Runge,-,Kutta,方,法比改进的,Euler,方法精确,度更高,.,（参见,p227,和,p228,的表）,40,7:,ODE,7.5,一阶常微分方程组与高阶方程初值问题的数值解法,7.5.1,一阶常微分方程组,初值问题,41,7:,ODE,写成向量形式：,其中,注意: 在形式上 (7.5.2) 与 (7.0.1) 一样, 所以可以把求解常微分方程初值问题的各种数值方法推广到方程组上来.,42,7:,ODE,利用向量值函数的微积分理论,很容易推导出,一阶常微分方程组,初值问题的数值解法,.,如,Euler,公式,其中,43,7:,ODE,(7.5.3),的分量形式为,或,44,7:,ODE,四阶标准的,Runge,-,Kutta,公式,设 则,(7.5.5),的分量形式为,45,7:,ODE,四阶标准的,Runge,-,Kutta,公式的分量形式,其中,46,7:,ODE,例,7.5.1,：试写出用中点公式解下列初值问题的计算公式.,解:令,则,再取,由向量形式的中点公式,47,7:,ODE,中点公式的向量形式,上述中点公式的分量计算形式为,分量计算形式为,48,7:,ODE,整理得分量计算格式,49,7:,ODE,7.5.2,高阶常微分方程初值问题的数值解法,高阶常微分方程初值问题的一般形式为,引入新变量,则 (7.5.7) 可化为如下一阶常微分方程组初值问题.,50,7:,ODE,等价的一阶常微分方程组初值问题：,于是，可采用前面7.5.1所介绍的方法求此问题的数值解.,51,7:,ODE,例,7.5.2,写出用标准四阶,Runge,-,Kutta,公式求解,的计算公式.,解: 令 ，将此问题转化为一阶常微分方程组初值问题,再令 则,52,7:,ODE,求此问题数值解的标准四阶,Runge,-,Kutta,公式为,53,7:,ODE,7.5.3,高阶常微分方程组初值问题的数值解法,对于高阶常微分方程组的初值问题, 考察下面的二阶常微分方程组初值问题:,令,将此问题转化为一阶常微分方程组初值问题,54,7:,ODE,等价的一阶常微分方程组初值问题,55,7:,ODE,本章小结,基本知识,建立初值问题数值解的计算格式的方法,数值微分方法、,Taylor,展开,法和数值积分方法,截断误差与方法的精度,Runge,-,Kutta,方法,基本思想,一阶、二阶、四阶,Runge,-,Kutta,方法,一阶常微分方程组数值解法,高阶方程（组）的数值解法,56,7:,ODE,