第三章函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章函数,函数的概念,函数的表示法,函数的单调性,函数的奇偶性,反函数,待定系数法,.,函数的应用,函数的概念,复习初中学过的函数概念，在函数,中，对的每一个确定的值，按照对应法则：“平方”，都有唯一确定的值与它对应，例如,这时，我们说是的函数，其中是自变量，函数常称做因变量，实数集是该函数的定义域，非负实数集是该函数的值域,下一页,返回,函数的概念,从这个例子可以看到两个重要的事实：,（）通过对应法则，把实数集中的数变到非负实数集中去；,（）对实数集中的每一个实数，在非负实数集中有且仅有一个值与之对应由上述分析可以看到，函数关系实质上就是从自变量的集合到函数值的集合的一种对应关系,一般地，设,，是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对于集合,内任一个元素，在集合中都有唯一个元素与之对应，则称：,为从集合,到集合的一个函数，记作：（），,其中叫做自变量，的取值范围,叫做函数的定义域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合（）,叫做函数的值域,上一页,返回,函数的表示法,函数的表示法通常以下有三种：,解析法,把两个变量之间的函数关系用等式来表示，这种表示函数的方法叫做解析法，这个等式叫函数的解析表达式，简称解析式,列表法,把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数关系，这种方法叫做列表法,下一页,返回,函数的表示法,图象法,把自变量的一个值和函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象，用图象表示两个变量之间的函数关系的方法叫做图象法,上一页,返回,函数的单调性,一般地，对于给定区间上的函数（）：,如果对于这个区间上的任意两个值,、,2,当,2,时都有（,）（,2,），那么就说（）在这个区间上是增函数（或单调递增函数），增函数的图象是沿轴的正方向，即从左向右逐渐上升的（如,图（）,）,如果对于这个区间上的任意两个值,，,2,，当,2,时都有（,）（,2,），那么就说（）在这个区间上是减函数（或单调递减函数），减函数的图象是沿轴的正方向，即从左向右逐渐下降的（如,图（）,）,函数（）在某个区间上单调递增或单调递减，叫做（）在这个区间上的单调性，这个区间叫做（）的单调区间,返回,函数的奇偶性,在作函数的图像时，可以看到，（）的图像关于原点对称，（）的图像关于轴对称，如,图,所示；从函数的解析式也可以发现，当取两个相反数的值时，（）的函数值是两个互为相反的数，而（）的两个函数值相等,一般地，对于函数（）：,如果函数（）对其定义域内任意一个值，且，都有（）（），那么函数（）叫做偶函数,如果函数（）对其定义域内任意一个值，且，都有（）（），那么函数（）叫做奇函数,下一页,返回,函数的奇偶性,根据上述定义，可以看出：如果（）是偶函数，则点（，（）与点（，（）都是（）的图像，这两点关于轴对称的,如果（）是奇函数，则点（，（）与点（，（）都是（）的图像，这两点是关于原点对称的，于是可以推出：,一个函数是偶函数的充要条件是：它的图像关于轴对称，属于轴对称图形，如,图（）,所示,一个函数是奇函数的充要条件是：它的图像关于原点对称，属于中心对称图形，如,图（）,所示,上一页,返回,反函数,一般地，函数（）中，是自变量，是的函数，设它的定义域为,，值域为，根据函数（）中，的关系，用把表示出来，得到（），如果对于在中的任何一个值，通过（），在,中都有唯一的一个值和它对应，那么（）就表示是自变量，是自变量的函数，这样函数（）（）叫做函数（）（,）的反函数，记作,（）,由于习惯用表示自变量，用表示自变量的函数，因此把它改写成,（）,返回,待定系数法,一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式（如一次函数为，二次函数为,），可先把所求的函数写成一般形式，再根据已知条件列方程（组），求出它的系数，这种通过求待定系数确定变量之间关系的方法叫做待定系数法,返回,.,函数的应用,一次函数和二次函数在许多实际问题中有重要应用，下面举些例子来说明,例某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票的费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图像如,图,所示求：,（）与之间的函数解析式,（）旅客最多可以免费携带行李的重量,解：（）设一次函数表达式是,因为当时；当时,下一页,返回,.,函数的应用,解得：,所以所求函数解析式是,（）时，解得,所以旅客最多可免费携带千克行李,上一页,返回,图,返回,图,返回,图,7,返回,图,3-11,返回,