3.1一维单原子

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 晶格振动与晶体的热学性质,3 1,一维单原子链,吉林建筑工程学院材料学院,第三章、晶格振动与晶体热学性质,主 要 内 容,3-1,一维单原子,晶格振动,（掌握）,3-2,一维双原子,晶格振动,3-3,三维晶格振动（理解）,3-4,声子,声子谱的测定,3-6,晶格热容,3-7,非简谐效应,绝热近似,固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离子实的运动速度比电子慢得多,(3,个数量级,),可以近似地把,电子的运动,与,离子实的运动,分开,来考虑，,这种近似方法称为绝热近似,-Born-Oppenheimer,近似,-1927,年,在研究电子的运动时,，认为离子静止在平衡位置上，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；,固体电子论,在研究离子,实,的运动时,，则认为电子能够即时跟上离子实位置的变化，变成,离子实或原子如何围绕平衡位置运动的问题,。,晶格振动理论,晶格振动理论就是在这种绝热近似的基础上建立的。,基本概念,1,、,晶格振动,：晶体中的原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为晶格振动；,2,、,关于热学性质,(,热容、热膨胀、热传导,),：对晶格振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为固体比热容服从,杜隆,珀替,定律；,1907,年,爱因斯坦,提出固体比热容的量子理论；,1912,年,德拜,提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质处理；此后，,玻恩,及其学派建立与发展了比较系统的晶格振动理论。,晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质,还与固体的弹性性质,介电性质,光学性质,电磁学性质,结构相变等固体各方面的物理性质密切相关,是研究固体物理性质的基础,.,3-1,一维单原子,晶格振动,晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式,格波,格波的研究,先计算原子之间的相互作用力,根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程,重点内容,3-1,一维单原子,晶格振动,主 要 内 容,3-1.1,介绍一维单原子链体系及参数；,3-1.2,体系恢复力与相对位移关系；,3-1.3,写出运动方程,(,根据牛顿定律,),；,3-1.4,解出一维单原子链的色散关系；,3-1.5,讨论一维单原子链晶格振动特点,3-1.1,一维单原子链体系及参数,m,n-2,n-1,n,n+1,n+2,x,n-2,a,x,n-1,x,n,x,n+1,x,n+2,质量,m,；,平衡时原子间距,a,；,第,n,个原子离开平衡位置的位移,x,n,；,第,n,个和第,n+1,个原子间相对位移,x,n+1,-x,n,。,体系参数,3-2.2,体系恢复力与相对位移关系,通常,采用谐振子模型来描述晶格振动，故原子围绕平衡位置的往复振动，受到,恢复力,的作用。,设第,n,个和第,n+1,个原子间相对位移用,来表示：, =x,n+1,-x,n,平衡位置处两原子间互作用势能记作,U(,a,),U(,a+,),产生相对位移后,按简,谐,近似处理,m,n-2,n-1,n,n+1,n+2,x,n-2,a,x,n-1,x,n,x,n+1,x,n+2,A,简谐近似,恢复力可表示为：,称为力常数,考虑到简谐近似,泰勒基数展开,3-2.3,写出运动方程,B,最近邻近似,:,若,只,考虑最近邻原子的作用,，则第,n,个原子受到第,n-1,和,n+1,个原子的作用力，且设,n,n-1,=,n+1,n,= ,则,:,每个原子对应一个方程，若原子链有,N,个原子，则有,N,个方程，这实际上表示,N,个联立的线性齐次方程。,原则：牛顿运动定律,F,=,ma,。,注意,：这里不考虑原子链端点的边界效应。,一维单原子链的色散关系,指晶格振动的频率,与波矢,q,（或,k,）,的关系,记作,(,q,),。,求晶格振动的运动方程的解。,何为色散关系,？,如何求色散关系？,求解：,简谐近似且,只考虑,最近邻,相互作用,求一维单原子链的色散关系,求色散关系,（,wq,）,，,即解如下运动方程：,一维,单原子链色散关系,设试探解为：,(,q,),q,0,一维单原子链的色散关系图示,(,周期性变化,),第一布里渊区,0,一维单原子链晶格振动特点,所设试探解的形式与一般连续介质波有完全类似的形式。,格波的意义,w,为波的圆频率，,是波长，,q=2,/,为波数。,区别在于,：连续介质波中,x,表示空间任意一点；而晶格振动中只能取,n,a,格点的位置，这是一系列呈周期性排列的点。,连续介质波,格波和连续介质波具有完全类似的形式,一个格波表示的是所有原子同时做频率为,的振动,(1),格波的概念,:,对于确定的,n,：第,n,个原子的位移随时间作简谐振动,对于确定时刻,t,：不同的原子有不同的振动位相,q,的物理意义：沿波的传播方向（即沿,q,的方向）上，单位距离两点间的振动位相差,格波解,：,晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，,称为格波,。,格波解的物理意义,格波的波形图,简谐近似下，格波是简谐平面波,一维单原子链晶格振动特点,(2),色散关系,w,是,q,周期函数，周期为,。,对于,若,aq,的改变值为,的整数倍，则原子振动模式没有任何不同，所以把,aq,限制如下：,aq, ,则,aq /a,(,即晶体的第一布里渊区,),=1,两种波矢的格波中，原子的振动完全相同,波矢的取值,第一布里渊区,只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题,其它区域不能提供新的物理内容,波矢,q,的周期,:,0, q,空间的周期,频率极小值,频率极大值,色散关系,只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减,一维单原子链晶格振动特点,前面所考虑的运动实际上只适用于,无穷长,的链，即假设所有的原子都有,相同,的运动方程，但一个有限的链的,两端,原子显然应和内部原子不同，最两端的原子只受到一个近邻的作用，因此应该具有不同形式的运动方程。这样在解方程方面就复杂得多，为解决这种情况，玻恩,卡曼提出了包含,N,个原胞的环状链,作为一个有限链的模型，它包括有限数目的原子核，然而保持所有原胞完全等价，前面所用的运动方程均适用。,玻恩,卡曼,模型,对于一维单原子链,相当于要求一个有限链头尾相衔接，起一个边界条件的作用，而实际上用这个模型并未改变运动方程的解，称为,玻恩,卡曼边界条件或周期性边界条件,。,(3),振动模式数,(,格波数,),周期性边界条件,玻恩卡门（,Born-Karman,）,周期性边界条件,一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样,实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述,一维单原子链晶格振动特点,模型：个原胞环状链,可见,，,l,有个不同取值，而,q,也有个不同取值。若每个,q,表示一种振动模式，则共计有个模式，或称个不同格波。,称为自由度数。,晶格振动,是晶体中诸,原子实,在作集体振动，振动的传播表现为晶格中的,格波,