5-3空间中平面及直线的方程

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,1.,平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程,.,法向量,.,量,则有,故,5-3,空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程（,1,）可以化成,例,1,已知一平面的法向量为（,2,，,3,，,4,），平面上一点,的坐标为（,1,，,1,，,1,），则该平面之方程是：,即,补例,求过三点,即,解,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,例,2,已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是,x,y,z,的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示,.,反过来,可以证明,任一三元一次方程,Ax,+,By,+,Cz,+,D,=,0,的图形总是一个平面,.,方程,Ax,+,By,+,Cz,+,D,=,0,称,为平面的一般方程,其法线向量为,n,=,(,A,B,C,),.,例如,方程,3,x,-,4,y,+,z,-,9,=,0,表示一个平面,n,=,(3,-,4,1),是这平面的一个法线向量,.,例,3,将平面的一般式方程,3x+4y+6z=1,化成点法式方程,.,解,先在平面上任意选定一点，,比如（,-3,，,1,，,1,）,.,则有,平面的,三点式方程,已知不在同一直线上的三点,与 不共线,即,以 作为所求平面的法向量,.,设 是平面上任一点,显然 垂直于,此混合积的坐标形式为,:,例,4,设已知三点,求过该三点,的平面方程,.,解,所求的平面方程是,特殊情形,当,D,= 0,时,A x,+,B y,+,C z,= 0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,= 0,时,B y,+,C z,+,D,= 0,的法向量,平面平行于,x,轴,;,A x+C z+D,= 0,表示,A x+B y+D,= 0,表示,C z,+,D,= 0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,平行于,xoy,面 的平面,;,平行于,yoz,面 的平面；,平行于,zox,面 的平面,.,平面的截距式,方程,同理求得,平面的截距式方程为,例,6,x+2y+z-1=0,表示的平面在,x,y,z,轴的截距分别是,该平面在第一卦限内的部分如图,.,x,y,z,o,两平面的夹角,设平面,1,和,2,的法线向量分别为,n,1,=,(,A,1,B,1,C,1,),n,2,=,(,A,2,B,2,C,2,),那么平面,1,和,2,的夹角,应满足,两平面的法向量的夹角,(,通常指锐角,),称为两平面的夹角,.,平面,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=,0,和,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=,0,互相垂直的充要条件是,A,1,A,2,+,B,1,B,2,+,C,1,C,2,=,0,.,两平面垂直的条件,两平面平行的条件,平面,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=,0,和,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=,0,互相平行的充要条件是,A,1,:,A,2,=,B,1,:,B,2,=,C,1,:,C,2,.,平面,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=,0,和,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=,0,夹角的余弦,:,例,8,试决定常数 与 使得平面,解,两平面垂直要求其向量垂直，即有,分析：,点,M,在直线,L,上,点,M,同时在这两个平面上,点,M,的坐标同时满足这两个平面的方程,.,2.,直线方程,空间直线可以看作是两个平面的交线,.,设直线,L,是平面,1,和,2,的交线,平面的方程分别为,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=,0,和,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=,0,这就是,空间直线的一般方程,.,来表示,.,那么直线,L,可以用方程组,空间直线的一般方程,.,例,9,联立方程,表示平行于,yoz,坐标面的平面,表示平行于,xoz,坐标面的平面,的解是,(3,4,z),其图形是平面,x-3=0,与,y-4=0,的交线，它平,行于,z,轴,.,x,y,z,o,3,4,代表平面,y=5x+1,与平面,y=x-3,的交线,.,例,10,联立方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量,.,方向向量,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,.,当直线,L,上一点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),和它的一方向向量,s,=,(,m,n,p,),为已知时,直线,L,的位置就完全确定了,.,确定直线的条件,求通过点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),方向向量为,s,=,(,m,n,p,),的直线的方程,.,(,x,-,x,0,y,-,y,0,z,-,z,0,)/,s,从而有,这,就是直线的方程,叫做直线的,对称式方程,或,标准方程,.,直线的任一方向向量,s,的坐标,m,、,n,、,p,叫做这直线的一组,方向数,.,向量,s,的方向余弦叫做该直线的,方向余弦,.,则从,M,0,到,M,的向量平行于方向向量,:,设,M,(,x,y,z,),为直线上的任一点,直线的,标准方程,.,通过点,M,0,(,x,0,y,0,x,0,),方向向量为,s,=,(,m,n,p,),的直线方程,:,此方程组就是,直线的参数方程,.,说明,:,某些分母为零时,其分子也理解为零,.,直线方程为,例如,当,例,1,1,将一般方程,解,先在直线上找一点,.,再求直线的方向向量,令,x,= 1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点,.,化成标准方程及参数方程,.,故所给直线的标准方程为,参数式方程为,解题思路,:,先找直线上一点,;,再找直线的方向向量,.,两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角,(,通常指锐角,),叫做两直线的夹角,.,设直线,L,1,和,L,2,的方向向量分别为,s,1,=,(,m,1,n,1,p,1,),和,s,2,=,(,m,2,n,2,p,2,),那么,L,1,和,L,2,的夹角,j,满足,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L,1,L,2,m,1,m,2,+,n,1,n,2,+,p,1,p,2,=,0,;,则,方向向量分别为,(,m,1,n,1,p,1,),和,(,m,2,n,2,p,2,),的直线的夹角余弦,:,提示：,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角,j,称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为,90,.,设直线的方向向量为,s,=,(,m,n,p,),平面的法线向量为,n,=,(,A,B,C,),则,直线与平面的夹角,j,满足,方向向量为,(,m,n,p,),的直线,与,法线向量为,(,A,B,C,),的平面的夹角,j,满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线,L,的方向向量为,s,=,(,m,n,p,),平面,P,的法线向量为,n,=,(,A,B,C,),则,L,/,P,Am,+,Bn,+,Cp,=,0,.,分析：,因为,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,所以对于任何一个,l,值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,.,分析：,对于不同的,l,值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线,L,即,这个方程表示通过直线,L,的一族平面,.,分析：,另一方面,任何通过直线,L,的平面也一定包含在上述通过,L,的平面族中,.,平面束,考虑三元一次方程,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,+,l,(,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,),=,0,即,(,A,1,+,l,A,2,),x,+,(,B,1,+,l,B,2,),y,+,(,C,1,+,l,C,1,),z,+,D,1,+,l,D,2,=,0,其中,l,为任意常数,.,其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,设直线,L,的一般方程为,补例,.,求直线,在平面,上的投影直线方程,.,提示,：,过已知直线的平面束方程,从中,选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,上述方程表示通过定直线,L,的所有平面的全体,称为平面束,.,平面束,考虑三元一次方程,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,+,l,(,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,),=,0,即,(,A,1,+,l,A,2,),x,+,(,B,1,+,l,B,2,),y,+,(,C,1,+,l,C,1,),z,+,D,1,+,l,D,2,=,0,其中,l,为任意常数,.,其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,设直线,L,的一般方程为,例,.,求直线,在平面,上的投影直线方程,.,提示,：,过已知直线的平面束方程,从中,选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,