第2章信号和系统的频域分析课件

,*,第,2,章 时域离散信号和系统的频域分析,第,2,章 信号和系统的频域分析,2.1,引言,2.2,序列的傅里叶变换,2.3,周期序列的离散傅里叶级数,2.4,时域离散信号的,FT,与模拟信号的,FT,的关系,2.5,序列的,Z,变换,2.6,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,2.1,引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。,时域分析 频域分析,f(t,) F(),x(n,),X(e,j,),在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。,在离散领域：系统用差分方程,？,、,Z,变换,？,和傅里叶变换,？,描述,。,连续信号和系统的 离散信号和系统的,频域分析 频域分析,2.2,序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1,序列傅里叶变换的定义,FTx(n,)=,IFTX(e,j,)=,x(n,)=,序列的傅里叶变换,序列的傅里叶反变换,例,2.2.1,设,x(n)=R,N,(n),， 求,x(n),的,FT,。,解：,设,N=4,，,X(,),的幅度与相位随,变化曲线如图,2.2.1,所示。注意观察它的周期性,？,。,图,2.2.1 R,4,(n),的频谱的幅度与相位曲线,2.2.2,序列傅里叶变换的性质,1. FT,的周期性,在定义,(2.2.1),式中，,n,取整数， 因此下式成立,M,为整数,(2.2.6),它说明序列的傅里叶变换是频率,的周期函数，周期是,2,。在,=0,和,=2,M,附近的频谱分布是相同的。在,=0,，,2,，,4,，,点上表示信号,x(n,),的直流分量，在,= ,，,3,，,5,，,点上表示信号,x(n,),的高频分量,？,。,例如：信号,x(n,)=,cos(n,),，当,=2M,时它没有变化，当,=2M+,时它变化最快，用图表示如图,2.2.2,。,图,2.2.2,cos,（,n,）的波形,2. FT,的线性,那么,设,式中,a, b,为常数 。,3.,FT,的,时移与频移,设,X(e,j,)=FT,x(n),，,那么,证明方法： 令,l=n-n,0,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),例,2.2.2,试分析,x(n)=e,jn,的对称性,解： 将,x(n),的,n,用,-n,代替， 再取共轭得到：,x*(-n)= e,jn,因此,x(n)=x*(-n),，,满足,(2.2.10),式，,x(n),是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到,x(n)=,cos(nJ)+j,sin(n,),由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n,) (2.2.16),式中,x,e,(n,),和,x,o,(n,),可以分别用原序列,x(n),求出：,(2.2.18),(2.2.19),对于频域函数,X(e,j,),也有和上面类似的概念和结论：,X(,e,j,)=,X,e,(,e,j,)+X,o,(,e,j,) (2.2.10),共轭对称部分,X,e,(,e,j,) =,X,e,*,(e,-j,) (2.2.21),共轭反对称部分,X,o,(,e,j,),=-X,o,*,(e,-j,) (2.2.22),(2.23),(2.2.24),对称性,(a),若,x(n)=,x,r,(n)+jx,i,(n,),，对该式进行,FT,， 得到,x,r,(n,),X,e,(e,j,),jx,i,(n,),X,o,(e,j,),(b),若,x(n,)=,x,e,(n)+x,o,(n,),，对该式进行,FT,，得到,x,e,(n,) ,X,R,(e,j,),x,o,(n,) ,jX,I,(e,j,),用途：加快,DFT,，节约计算机资源,x(n,) ,X(,),=x,1,+jx,2,=X,1,+jX,2,X,1,=,X,e,=(,X(,) + X,*,(-)/2,X,2,=-,jX,o,=-,j(X(,) - X,*,(-)/2,5.,FT,的,时域卷积定理,设,y(n)=x(n)*h(n),则,Y(e,j,)=X(e,j,)H(e,j,) (2.2.32),6. FT,的频域卷积定理,设,y(n,)=,x(n)h(n,) (2.2.33),则,2.3,周期序列的离散傅里叶级数,定义,设 是以,N,为周期的周期序列,则离散傅里叶级数为,物理意义,周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的 表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。,X(k,),表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理,FT,的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。,例,2.3.1,设,x(n)=R,4,(n),，将,x(n),以,N=8,为周期，进行周期延,拓，得到如图,2.3.1(a),所示的周期序列 ，周期为,8,，求,的,DFS,。,解： 按照定义,例,2.3.1,图,习题,2,的解：,1,建立数学模型,FT,的反变换表达式为,x(n,)=,因为,MATLAB,是做数值计算的，所以改写表达式,x(n,)=,写成,MATLAB,程序,DSP7.m,clear,N=200; %0,到,pi,的频分点数,dw,=pi/,N;w,=1:N*,dw,; %,角频率的间隔,X=ones(1,N/2),zeros(1,N/2)*pi; %,给出频谱函数,ln,=200; %,给出序列的正长度,n=0:ln; %,给出序列的正序号,x=X*,exp(j,*w*n)*,dw,/pi; %,求,X(w,),的傅里叶反变换,subplot(2,1,1),plot(w,X),grid,title(,频谱,X(w,),的波形图,),xlabel(w,/,弧度,),ylabel(X(w,);,subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),.),grid,title(,序列,x(n,),的波形图,),xlabel(n),ylabel(x(n,);,s,h,g,3,程序运行结果,频分点,N=200,时,频分点,N=100,时,习题,6,（,2,）的解：,1,建模 从序列的傅里叶变换的定义出发,为了计算，将连续频率,w,设置成离散频率，得到频谱,X=x*exp(-j*n*w),2 MATLAB,程序,DSP8.m,clear,n=-1:1; %,建立序号,x=.5,1,.5;%,给出序列,w=linspace(0,2*pi,1000);%,线性产生角频率,w,的,1000,个频点,X=x*exp(-j*n*w);%,求,x(n,),的傅里叶变换,plot(w,abs(X),grid,shg,%,画频谱图,title(,序列,x(n,),的频谱图,),xlabel(w,/,弧度,),ylabel(X(w,),的幅度,),程序运行结果,一种是,w=02pi,，,一种是,w=04pi,，,2.4,时域离散信号的,FT,与模拟 信号的,FT,之间的关系,模拟信号,x,a,(t,),的一对傅里叶变换用下面公式描述,（,2.4.2,）,（,2.4.1,）,而采样信号 的傅里叶变换用下面公式描述,（,1.5.2,）,（,1.5.5,）,公式（,1.5.5,）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系,离散信号,x(n,),的一对傅里叶变换用下面公式描述,（,2.2.4,）,（,2.2.1,）,如果时域离散信号,x(n,),是由我们对模拟信号,x,a,(t,),的采样产生的，即,x(n,)=,x,a,(nT,),，那么，,X(,),与,X,a,(,),之间有什么关系？ 这在模拟信号,DSP,处理中 是个很重要的问题。,由公式（,2.4.2,）得到,为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令,=,B+,s,k,，,s,是采样角频率，则当,=,到,时，,B=,s,/2,到,s,/2,，,k=,整数，所以,注意,:,B=,T=,它与式（,2.2.4,）对比得到,（,2.4.7,）,公式（,2.4.7,）描述离散信号与连续信号的频谱关系。,公式（,1.5.5,）和（,2.4.7,）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是,s,。它们频率轴上取值的对应关系用,T=,表示。,图,2.4.1,模拟频率与数字频率之间的定标关系,采样规律：,函数采样,(I)FT,周期延拓没采样函数变换的,采样间隔,(I)FT,延拓的周期是,(1/),例,2.4.1,设,x,a,(t,)=cos(2f,0,t),，,f,0,=50 Hz,，以采样频率,f,s,=200 Hz,对,x,a,(t,),进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号,x(n),， 求,x,a,(t,),、 和,x(n,),的傅里叶变换。,解：根据,FT,对称性和频移性,令,2f=,按照,(1.5.2),式， 与,x,a,(t,),的关系式为,的傅里叶变换用,(1.5.5),式确定， 即以,s,为周期， 将,X,a,(,),周期延拓形成：,x(n,),的傅里叶变换用,(2.4.7),式确定，注意：,T=,0,=100,，,0,=/2,?,下面是连续信号、采样信号,和离散信号的频谱图：,/T,图,2.4.2,例,2.4.1,图,2.5,序列的,Z,变换,2.5.1 Z,变换的定义,序列,x(n,),的,Z,变换是,式中,z,是一个复变量，相当于,FT,中的虚指数,e,j,， 它所在的复平面称为,z,平面。 注意在定义中， 对,n,在,之间求和的,ZT,， 可以称为双边,Z,变换。对,n,在,0,之间求和的,ZT,， 可以称为单边,Z,变换的定义， 如下式,(2.5.1),(2.5.2),使,(2.5.3),式成立的,Z,变量取值范围称为收敛域。 一,般收敛域用环状域表示：,对于因果序列，用两种,Z,变换定义计算出的结果是一样,的。 本书中如不另外说明， 均用双边,Z,变换对信号进行,分析和变换。,(2.5.1),式,Z,变换存在的条件是等号右边级数收敛，,要求级数绝对可和， 即,(2.5.3),令,z=,re,j,带入上面不等式就可以得到,R,x,r,R,x+,，它说,明收敛域是以,R,x,和,R,x+,为半径的两个圆圈围成的圆环，,R,x,和,R,x+,称为收敛半径。,图,2.5.1 Z,变换的收敛域,常用的,Z,变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,分子多项式,P(z),的根是,X(z),的零点，分母多项式,Q(z),的根是,X(z),的极点。在极点处,Z,变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界,？,。,对比序列的傅里叶变换定义,(2.2.1),式，很容易得到,FT,和,ZT,之间的关系， 用下式表示：,(2.5.4),式中,z=e,j,表示在,z,平面上,r=1,的圆， 该圆称为单位圆。,(2.5.4),式表明单位圆上,？,的,Z,变换就是序列的傅里叶变,换。 如果已知序列的,Z,变换，可用,(2.5.4),式，很方便的,求出序列的,FT,，,条件是收敛域中包含单位圆。,例,2.5.1 x(n)=u(n),，,求其,Z,变换。,解：,X(z,),存在的条件是,|z,-1,|1,，,|z|1,X(z,),表达式表明，极点是,z=1,，单位圆上的,Z,变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在，更不能用式,(2.5.4),求它的,FT,。,该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内,Z,变换是存在的。,2.5.2,序列特性对收敛域的影响,序列的特性决定其,Z,变换收敛域， 了解序列特性与收敛的基本关系， 对使用,Z,变换是很有帮助的。,1.,有限长序列,其它,其,Z,变换为,设,x(n,),为有界序列， 由于是有限项求和， 除,z=0,与,两点,ZT,是否收敛与,n,1,、,n,2,取值情况有关外， 整个,z,平面均收敛。具体情况具体分析：,当,n,1, 0,和,n,2,0,时，,0z,；,当,n,1, 0,时，,0 0,时，,0z,。,例,2.5.2,求,x(n)=R,N,(n),的,Z,变换及其收敛域,解：,由结果的分母可以看出似乎,z=1,是,X(z,),的极点，但同时分子多项式在,z=1,时也有一个零点， 极点和零点对消，所以,X(z,),在单位圆上仍存在， 求,R,N,(n,),的,FT,， 可将,z=,e,j,代入,X(z,),得到,。,2.,右序列,右序列是在,nn,1,时， 序列值不全为零， 而在,nn,1,时，,序列值全为零的序列。它的,Z,变换为,第一项为有限长序列， 设,n,1,-1,， 其收敛域为,0|z|,。 第二项为因果序列， 其收敛域为,R,x-,|z|,，,R,x-,是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域,相与,， 其收敛域为,R,x-,|z|,。 如果是因果序列， 收敛域为,R,x-,|z|,。,例,2.5.3,求,x(n,)=,a,n,u(n,),的,Z,变换及其收敛域,解：,在收敛域中必须满足,|a,z,-1,|a|,。,3.,左序列,左序列是在,nn,2,时， 序列值不全为零， 而在,nn,2,，,序列值全为零的序列。 左序列的,Z,变换表示为,如果,n,2,0, z=0,点收敛，,z=,点不收敛， 其收敛域是在某一半径为,R,x+,的圆内， 收敛域为,0|z|0,， 则收敛域为,0|z| R,x+,。,2.5.3,逆,Z,变换的定义,已知序列的,Z,变换及其收敛域， 求序列称为逆,Z,变换。 序列的,Z,变换和逆,Z,变换表示如下：,逆变换的求法 留数法,长除法,部份分式法,(2.5.5),1.,长除法,按照,Z,变换定义,(2.5.1),式， 可以用长除法将,X(z),写成幂级数形式， 级数的系数就是序列,x(n),。,要说明的是， 如果,x(n),是右序列， 级数应是负幂级数； 如,x(n),是左序列， 级数则是正幂级数。,例,2.5.8,已知 用长除法求其逆,Z,变换,x(n),。,解 由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展开成负幂级数。,因为,所以,最后得,1-az,-1,例,2.5.9,已知 ，求其逆,Z,变换,x(n),。,解：由收敛域判定,x(n,),是左序列，用长除法将,X(z),展成正幂级数,-az,-1,+1,所以,2.,部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆,Z,变换。,设,Z,变换,X(z),是有理函数，分母多项式是,N,阶，分子多项式是,M,阶，将,X(z),展成一些简单的分式之和，通过查表,(,参考表,2.5.1),求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列,x(n),。设,X(z),只有,N,个一阶极点，可展成下式,(2.5.11),(2.5.12),求出,A,m,系数,(m=0,1,2,N),后，利用变换对,很容易求得,x(n),序列。,例,2.5.10,已知 ，求逆,Z,变换。,解：,因为收敛域为,2|z|2,。第二部分极点,z=-3,，收敛域应取,|z|3,。根据前面两个公式得到,x(n,)=2,n,u(n)+(-3),n,u(-n-1),题,14,的,MATLAB,答案：,clear,format compact %格式紧凑,syms x n %说明x和n是符号,x=2(-n),X=ztrans(x) %对序列做单边z变换,pretty(X) %使公式更好看,题,18,（,2,）的,MATLAB,提示：,z=,iztrans(Z,) %,对序列做单边,z,反变换,2.5.4 Z,变换的性质和定理,1. ZT,的移位,设,X(z,)=ZT,x(n,), R,x-,|z|R,x+,则,ZT,x(n-n,0,),=z,-n0,X(z), R,x-,|z|R,x+,(2.5.16),2. ZT,的卷积定理,设,则,W(z,),的收敛域就是,X(z,),和,Y(z,),的公共收敛域。,例,2.5.11,已知网络的单位取样响应,h(n)=,a,n,u(n,), |a|1,，,网络输入序列,x(n)=u(n),，,求网络的输出序列,y(n),。,解：求,y(n,)=h(n)*x(n),可用两种方法，,（,1,）直接求解线性卷积,m0,，,n-m0,n0,(2),用,Z,变换法,用部份分式法,2.5.5,用,Z,变换表示差分方程,这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简,单。设,N,阶线性常系数差方程为,1.,求稳态解,如果输入序列,x(n,),是在,n=0,以前,时加上的，,n,时,刻的,y(n,),是稳态解，对,(2.5.30),式求,Z,变换，得到,用,ZT,的移位性质,(2.5.30),移项后得,令,则,所以,2.,求暂态解,对于,N,阶差分方程，求暂态解必须已知,N,个初始条件。设,x(n),是因果序列，即,x(n)=0,nmax(|a|,|b|),，,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,2.6,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,2.6.1,传输函数与系统函数,传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响应,h(n,),的傅里叶变换,H(e,j,),：,(2.6.1),系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响应,h(n,),的,Z,变换,H(z,),：对,N,阶差分方程,(1.4.2),式进行,Z,变换，可以得到系统函数的一般表示式,(2.6.2),如果,H(z),的收敛域包含单位圆,|z|=1,，,H(e,j,),与,H(z),之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2,系统函数的极点影响因果性和稳定性,因果,(,可实现,),系统的单位脉响应,h(n),一定满足当,n0,时，,h(n)=0,；所以其系统函数,H(z),的收敛域一定包含,点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛域在这个圆外。,系统稳定要求 ，对照,Z,变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆,？,。如果系统因果且稳定，收敛域包含,点和单位圆，那么收敛域可表示为,r|z|,，,0r1,例,2.6.1,已知 ，请,分析其因果性和稳定性。,解：,H(z),的极点为,z=a,，,z=a,-1,， 。,(1),如果收敛域,a,-1,|z|,，,对应的系统是因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应,h(n)=(a,n,-a,-,n,)u(n,),，是一个因果序列，但不收敛。,(2),如果收敛域,0|z|,a,，对应的系统是非因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应,h(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1),，是一个非因果序列，而且不收敛。,(3),如果收敛域,a|z|=0-n-10=0;ha=,xc,;,Xc,=,xc,*exp(-j*n*,w);Ha,=ha*exp(-j*n*w);,y=,conv(xc,ha);m,=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);,%,说明归一化角频率,subplot(3,2,1),stem(n,xc,.);subplot(3,2,2),plot(w/2/pi,abs(Xc);,subplot(3,2,3),stem(n,ha,.);subplot(3,2,4),plot(w/2/pi,abs(Ha);,subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(3,2,6),plot( w/2/pi,abs(Y);,clear,close,all,；,%,实验（,3,）,n=0:49;T=1/1000;,xa,=exp(-0.4*n).*sin(2.0734*n);,hb,=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0;,y=,conv(xa,hb,);,w=linspace(0,2*,pi);m,=0:98;,Y=y*exp(-j*m*w);,Xa,=,xa,*exp(-j*n*,w);Hb,=,hb,*exp(-j*n*w);Y1=,Xa,.*,Hb,;,subplot(3,2,1),stem(n,xa,.);subplot(3,2,3),stem(n,hb,.);,subplot(3,2,5),stem(y,.);,subplot(1,2,2),plot(w,abs(Y),r,w,abs(Y1),:g);,max=max(abs(Y-Y1),