教育专题：随机事件的概率 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机事件的概率,3.1.1,事件与随机事件,频率与概率,一、事件,必然事件,：在条件,S,下，必然要发生的事件（,Certain event,）,不可能事件,：在条件,S,下，一定不会发生的事件（,Impossible event,）,随机事件,：在条件,S,下可能发生也可能不发生的事件（,Radom event,）,事件一般用,大写字母,表示，必然事件与不可能事件统称为相对于条件,S,的,确定事件,，随机事件的发生与否，具有,不确定性,，即是随机性,区别“必然事件”、“不可能事件”、“随机事件”,在标准大气压下，水在,100,度沸腾,将一条线折成三段，可围成一个三角形,射击运动员射击一次命中十环,sin,x,+cos,x,1,sin,x,+cos,x,2,导体通电时，发热,抛掷一枚硬币，出现正面,明天上午下雨,某人射击一次，中靶,已知,a,b,-2,-1,0,1,2,时，点,(,a,b,),在直线,y,=,x,上,没有水分，种子发芽,他乡遇故知,二、概率,对于必然事件和不可能事件，由于它发生的可能性为,100%,和,0%,，没有太大的研究意义,.,而对于随机事件，由于它的不确定性，它发生的可能性的大小对于是非常重要的。如：,2008,年北京奥运会开幕式下雨的可能性有多大对于决策者来说非常重要,雨后在省实的足球场上踢球，运动员滑倒后受伤的可能性有多大对于爱好足球的同学有重要的参考价值,用,概率,(probability),度量随机事件发生的可能性大小,.,从“抛硬币”看概率与频率,玩法,:,抛一枚,1,元硬币,统计落地后两个面分别有多少次朝上,.,问题：是否抛,10,次，就一定有,5,次正面朝上？随着试验次数的增多，正面朝上与反面朝上的次数有什么变化？,历史上的验证,:,抛掷次数,(,n,),正面向上的次数,（频数,m,）,频率,(),2048,1061,0.5181,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,30000,14984,0.4996,72088,36124,0.5011,当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数,0.5,，在它附近摆动,类似案例,2003,年北京市某学校高一（,5,）班的学生做了如下试验：在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。,每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下，从,1.2,米的高度让图钉自由下落。,重复,20,次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。,下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出来的频率图,频率,投掷次数,出现“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但是在大量重复试验时，它又具有“稳定性”,在一个“常数”附近摆动,频率与概率,频数：在相同的条件,S,下重复,n,次试验，观察某一事件,A,是否出现，称,n,次试验中事件,A,出现的次数,n,A,为事件,A,出现的频数,.,频率：,概率：在大量重复进行同一试验时，事件,A,发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件,A,的概率，记作,P(A),必然事件的概率是多少？不可能事件呢？,概率的取值范围是什么？,事件,A,发生的频率,f,n,(A,),是否不变的？,事件,A,发生的概率,P(A),是否不变的？,频率与概率,求概率的基本方法是通过大量的重复试验,只有当频率在某个常数附件摆动时，这个常数才叫做事件,A,的概率,概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值,必然事件的概率为,1,，不可能事件的概率为,0,概率的取值范围：,0P(A)1,例、某篮球运动员在近,6,次比赛中罚球的次数和命中情况,投篮次数,n,8 10 12 9 10 16,进球次数,m,6 8 9 7 7 12,进球频率,0.75,0.8,0.75,0.78,0.7,0.75,问题：这个运动员投篮一次，命中的概率有多大？,三、试验结果分析,指出下列试验的结果：,(1),先后掷两枚均匀的硬币的结果；,(2),某人射击一次命中的环数；,(3),从集合,A=,a,b,c,d,中任取两个元素构成的,A,的子集,.,做试验“从一个装有标号为,1,2,3,4,的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对,(,x,y,)”(1),求这个试验结果的个数；,(2),写出“第一次取出的小球上的数字是,2”,这一事件,.,将骰子先后投掷两次，计算：,(1),一共有多少种不同的结果？,(2),其中向上的数之和为,5,的结果有多少种？,(3),向上的数之和是,5,的概率是多少？,划分试验结果的原则：等可能,(,等概率,),概率论起源,概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源於十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。,数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢,s,局就算赢了，当赌徒,A,赢,a,局,(as),，而赌徒,B,赢,b,局,(bs),时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”於是他们从不同的理由出发，在,1654,年,7,月,29,日给出了正确的解法，而在三年後，即,1657,年，荷兰的另一数学家惠根斯,(1629-1695),亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了,论赌博中的计算,一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望,mathematicalexpectation,这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。,概率论历史简介,使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家伯努利,(1654-1705),。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“,伯努利大数定理,”，即“,在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势,”。这一定理更在他死後，即,1713,年，发表在他的遗著,猜度术,中。,到了,1730,年，法国数学家棣莫弗出版其着作,分析杂论,，当中包含了着名的“棣莫弗,拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在,1812,年出版的,概率的分析理论,中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关於“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。,概率论发展到,1901,年，中心极限定理终於被严格的证明了，之后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什麽实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了,20,世纪的,30,年代，人们开始研究随机过程，而着名的马尔可夫过程的理论在,1931,年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范筹，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。,随机事件的概率,3.1.2,正确理解概率,决策中的概率思想试验发现中的统计规律,一、正确理解概率,问题,1,：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为,0.5,，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？,问题,2,：如果某种彩票中奖的概率是千分之一，那么买,1000,张这种彩票一定能中奖吗？,将一枚均匀硬币任意掷出，“掷,100,次恰出现,50,次正面”的概率很大吗？,问题,1,：每人各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录下,结果，填入下表。,重复上面的过程,10,次，把全班同学试验结果汇总，计算三种结果发生的频率。,姓名,试验次数,两次正面朝上的次数、比例,两次反面朝上的次数、比例,一次正面朝上，一次反面朝上的次数、比例,随着试验次数的增加,可以发现,“,两次正面上”,”,两次反面朝上”的,频率,大致相等,其数值接近于,0.25;”,一次正面朝上,一次反面朝上”的,频率,接近于,0.5.,事实上,两次正面上”,”,两次反面朝上”的,概率,相等,其数值等于,0.25;”,一次正面朝上,一次反面朝上”的,概率,等于,0.5.,划分试验结果的原则：等可能,(,等概率,),说明：,虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性,。随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有 的彩票中奖。实际上，买,1000,张彩票中奖的概率为没有一张中奖也是有可能的，其概率近似为,0.3677,。,问题,2,：如果某种彩票中奖的概率是千分之一，那么买,1000,张这种彩票一定能中奖吗？,随机性,与,规律性,：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机性中的规律性，就能为我们比较准确的预测随机事件发生的可能性。,问题,3,：很多人以为“,100,次出现,50,次正面”是必然的，或者说，它的概率应该很大，但计算表明这概率只有,8%,左右，如何解释？有人给出了一个掷均匀硬币的模拟试验,(,见费勒著,概率论及其应用,),，这试验相当于,100,个人，每人都掷,100,次均匀硬币，记录下各自掷出正面的次数如下：,54,46,53,55,46,54,41,48,51,53,48,46,40,53,49,49,48,54,53,45,43,52,58,51,51,50,52,50,53,49,58,60,54,55,50,48,47,57,52,55,48,51,51,49,44,52,50,46,53,41,49,50,45,52,52,48,47,47,47,51,45,47,41,51,49,59,50,55,53,50,53,52,46,52,44,51,48,51,46,54,45,47,46,52,47,48,59,57,45,48,47,41,51,48,59,51,52,55,39,41.,这里共掷了,10000,次，正面出现的次数，即上述,100,个数字之和，为,4979,，这表明正面出现的频率为,0.4979,，可以认为硬币是均匀的。,另一方面，在上述,100,个数字中，,50,出现了,7,次。即“掷,100,次硬币，出现,50,次正面”的频率是,7/100,，和,0.08,相差不算大。,54,46,53,55,46,54,41,48,51,53,48,46,40,53,49,49,48,54,53,45,43,52,58,51,51,50,52,50,53,49,58,60,54,55,50,48,47,57,52,55,48,51,51,49,44,52,50,46,53,41,49,50,45,52,52,48,47,47,47,51,45,47,41,51,49,59,50,55,53,50,53,52,46,52,44,51,48,51,46,54,45,47,46,52,47,48,59,57,45,48,47,41,51,48,59,51,52,55,39,41.,二、概率在实际问题中的应用,1.,概率与公平性的关系,问题,4,：你有没有注意到在乒乓球、羽毛球等体育比赛中，如何确定由哪一方先发球？你觉得那些方法对比赛双方公平吗？,问题,5,：某中学高一年级有,12,个班，要从中选,2,个班代表学校参加某项活动,.,由于某种原因，,1,班必须参加，另外再从,2,到,12,班中选,1,个班,.,有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？为什么？,二、概率在实际问题中的应用,2.,决策中的概率思想,问题,6,：在一次试验中，连续,10,次投掷一枚骰子，结果出现的都是,1,点，你认为这个骰子的质地均匀吗？为什么？,通过刚学过的概率知识我们可以推断，如果它是均匀的，通过试验和观察，可以发现出现各个面的可能性都应该是 ，从而连续,