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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,了解直接证明的两种方法,分析法和综合法,/,了解分析法和综合法的思考过程、特点,/,了解间接证明的一种基本方法,反证法，了解反证法的思想过程、特点,第,2,课时 直接证明与间接证明,直接证明与间接证明是高考重点考查的内容之一，每年都有涉及，主要以解答题的形式出现，属于中档题,1,分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法：分析法是倒推，综合法是顺推分析法侧重结论提供的信息，综合法则侧重条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，就能找到合理的解题思路因此，在实际解题时，常常把综合法和分析法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程，有时还要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功,【,命题预测,】,【,应试对策,】,2,掌握证明的方法、步骤，尤其是分析法，一定要在如何准确地表达上下一番工夫，遇到证明问题时要进行具体的分析，合理地选择好解决问题的方法，不断地提高解题能力,3,使用反证法证明问题时，准确地作出假设,(,即否定结论,),是正确运用反证法的前提，明确反证法的证题步骤，掌握一些常见命题的否定形式，熟悉推出矛盾的几种常见类型，是用好反证法的关键反证法适宜证明带有,“,存在性,”,、,“,唯一性,”,、,“,至少有一个,”,或,“,至多有一个,”,等字样的一些数学问题用反证法证明命题的一般步骤为：,(1),分清命题的条件和结论；,(2),作出与命题结论相矛盾的假设；,(3),由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；,(4),断定产生矛盾结果的原因，则开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接的证明原命题为真,4,用反证法证明时，当求证结论的否定有几种不同的情况时，应当一一推出矛盾，切勿遗漏，反证法出现什么样的矛盾，事先无法预料，因此，用反证法证明时，应随时审视每个推理的结论是否与题设、定义、公理、公式、法则矛盾，甚至自相矛盾等,反证法的应用,(1),反,证法的理论依据是逻辑规律中的排除法：一个事物或者是,A,或者是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误，从而结论正确,(2),反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等,【,知识拓展,】,(3),反证法中的,“,反设,”,，这是应用反证法的第一步，也是关键一步,“,反设,”,的结论将是下一步,“,归谬,”,的一个已知条件,“,反设,”,是否正确、全面，直接影响下一步的证明做好,“,反设,”,应明确：,正确分清题设和结论；,对结论实施正确否定；,对结论否定后，找出其所有情况,例如，,A,：大于；：不大于不大于即小于或等于，对这两种情况在下一步的,“,归谬,”,中应一一证明不成立,(4),反证法的,“,归谬,”,它是反证法的核心其含义是：从命题结论的假设,(,即把,“,反设,”,作为一个新的已知条件,),及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果,(5),应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：,第一步：分清命题“,p,q,”,的条件和结论；,第二步：作出与命题结论,q,相矛盾的假设,綈,q,；,第三步：由,p,和,綈,q,出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；,第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设,綈,q,不真，于是原结论,q,成立，从而间接地证明了命题,p,q,为真,第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况,1,直接证明,(1),定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法,(2),A,B,C,本题结论,(3),综合法,定义,：,从,条件出发,，,以已知的定义、定理、公理为依据，逐步推出,，,直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法,已知,结论,推证过程：,(4),分析法,定义：从,出发，追溯导致结论成立的条件，逐步寻求结论成立的,，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法,推证过程：,结论,条件,思考：,综合法和分析法有什么区别与联系？,提示：,分析法的特点是：从,“,未知,”,看,“,需知,”,，逐步靠拢,“,已知,”,，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件，综合法的特点是：从,“,已知,”,看,“,可知,”,，逐步推向,“,未知,”,，其逐步推理，实际上是寻求它的必要条件，分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种,2,间接证明,(1),间接证明,不是直接证明的方法通常称为间接证明,(2),反证法,反证法的证明过程可以概括为,“,”,，即从否定的结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定,(,即肯定原命题,),的过程,否定,推理,否定,1,否定,“,自然数,a,，,b,，,c,中恰有一个偶数,”,时，正确的反设为,_,答案：,自然数,a,，,b,，,c,中至少有两个偶数或都是奇数,2,若 ,2,，则 ,_,，,解析：,2.,答案：,2,3,若,a,1,，,b,1,，则,a,b,的取值范围是,_,解析：,a,b,1,(,1),0.,答案：,(0,，,),4,整数,a,，,b,都能被,5,整除的否定是,_,答案：,a,，,b,中至少有一个不能被,5,整除,5,若,a,b,0,，则下列不等式中总成立的是,_,答案：,1,综合法是,“,由因导果,”,，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：,A,B,1,B,2,B,n,B,(,A,为已知条件或数学定义、定理、公理等，,B,为要证结论,),，它的常见书面表达是,“,，,”,或,“,”,2,综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,【,例,1,】,(,南通市高三调研,),在四棱锥,P,ABCD,中,，,四边形,ABCD,是梯形,，,AD,BC,，,ABC,90,，,平面,PAB,平面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,.,(1),求证,：,PA,平面,ABCD,；,(2),若平面,PAB,平面,PCD,l,，,问：直线,l,能否与平面,ABCD,平行,？,请说明理由,思路点拨：,(1),证,PA,AD,，,PA,AB,，,(2),设,AB,CD,T,，证,PT,为面,PAB,与面,PCD,的交线,(1),证明：,因为,ABC,90,，,AD,BC,，所以,AD,AB,.,又平面,PAB,平面,ABCD,，且平面,PAB,平面,ABCD,AB,，,所以,AD,平面,PAB,，所以,AD,PA,.,同理可得,AB,PA,.,由于,AB,、,AD,平面,ABCD,，且,AB,AD,A,，所以,PA,平面,ABCD,.,(2),解：,因为梯形,ABCD,中,AD,BC,，所以直线,AB,与直线,CD,相交，设,AB,CD,T,.,由,T,CD,，,CD,平面,PCD,得,T,平面,PCD,.,同理,T,平面,PAB,.,即,T,为平面,PCD,与平面,PAB,的公共点，于是,PT,为平面,PCD,与平面,PAB,的交线,l,.,所以直线,l,与平面,ABCD,不平行,变式,1,：,(,盐城市高三调研考试,),如图,，,在四棱锥,P,ABCD,中,，,侧面,PAD,底面,ABCD,，,侧棱,PA,PD,，,底面,ABCD,是直角梯形,，,其中,BC,AD,，,BAD,90,，,AD,3,BC,，,O,是,AD,上一点,(1),若,CD,平面,PBO,，,试指出点,O,的位置,；,(2),求证,：,平面,PAB,平面,PCD,.,(1),解：,因为,CD,平面,PBO,，,CD,平面,ABCD,，且平面,ABCD,平面,PBO,BO,，,所以,BO,CD,.,又,BC,AD,，所以四边形,BCDO,为平行四边形，则,BC,DO,.,而,AD,3,BC,，故点,O,的位置满足,AO,2,OD,.,(2),证明：,因为侧面,PAD,底面,ABCD,，,AB,底面,ABCD,，且,AB,交线,AD,，所以,AB,平面,PAD,，则,AB,PD,.,又,PA,PD,，且,PA,平面,PAB,，,AB,平面,PAB,，,AB,PA,A,，,所以,PD,平面,PAB,.,而,PD,平面,PCD,，所以平面,PAB,平面,PCD,.,1,分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件,2,分析法是,“,执果索因,”,，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实,用分析法证,“,若,P,则,Q,”,这个命题的模式是：,为了证明命题,Q,为真，,这只需证明命题,P,1,为真，从而有,这只需证明命题,P,2,为真，从而有,这只需证明命题,P,为真,而已知,P,为真，故,Q,必为真,【,例,2,】,求证,：,log,n,(,n,1),log,(,n,1),(,n,2),，,其中,n,N,且,n,1.,思路点拨：,为了便于比较，应等价变形为同底对数,n,1,，,lg,n,，,lg(,n,1),，,lg(,n,2),均为正数去分母，则需证不等式,lg,n,lg(,n,2),log,(,n,1),(,n,2),，,其中,n,N,且,n,1,，,只需证,，,只需证,lg,n,lg(,n,2),log(,n,1)(,n,2),成立,变式,2,：,已,知,a,、,b,(0,，,),2,c,a,b,.,求证：,(1),c,2,ab,；,(2),c,a,a,b,，,a,、,b,0,，,4,c,2,(,a,b,),2,a,2,b,2,2,ab,2,ab,2,ab,4,ab,.,c,2,ab,.,(2),要证,c,a,c,，只需证,a,c,，,只需证,|,a,c,|,，只需证,|,a,c,|,2,(),2,，,只需证,a,2,2,ac,c,2,a,2,ab,.,a,0,，,只需证,2,c,a,b,，这是题设条件故原不等式成立,反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：,(1),反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面,(,否定命题,),成立；,(,否定结论,),(2),归谬：将,“,反设,”,作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾,与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；,(,推导矛盾,),(3),结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于,“,反设,”,的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立,(,结论成立,),【,例,3,】,若,x,，,y,都是正实数,，,且,x,y,2,，,求证,：,2,或,2,中至少有一个成立,思路点拨：,本题结论以,“,至少,”,形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，,故可用反证法加以证明,证明：,假设,2,和,0,且,y,0,，,所以,1,x,2,y,，,且,1,y,2,x,，,两式相加,，,得,2,x,y,2,x,2,y,，,所以,x,y,2,，,这与已知条件,x,y,2,矛盾,，,因此,2,和,2,中至少有一个成立,变式,3,：,设,a,n,是公比为,q,的等比数列,，,S,n,是它的前,n,项和,.,(1),求证,：,数列,S,n,不是等比数列,；,(2),数列,S,n,是等差数列吗,？,为什么,？,(1),证明,：,证法一,：反证法：,若,S,n,是等比数列,，,则,S,S,1,S,3,，,即,(1,q,),2,a,1,a,1,(1,q,q,2,),a,1,0,，,(1,q,),2,1,q,q,2,，,即,q,0,与,q,0,矛盾,，,故,S,n,不是等比数列,证法二,：,只需证明,S,n,S,n,2,.,S,n,1,a,1,q,S,n,，,S,n,2,a,1,qS,n,
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