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,平面向量共线的坐标表示,第二章,2.3,平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标,1.,理解用坐标表示的平面向量共线的条件,.,2.,能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线,.,3.,掌握三点共线的判断方法,.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,1,知识点平面向量共线的坐标表示,上面几组向量中，,a,，,b,有什么关系？,答案,答案,(1)(2),中,b,2,a,，,(3),中,b,3,a,，,(4),中,b,a,.,已知下列几组向量：,(1),a,(0,，,3),，,b,(0,，,6),；,(2),a,(2,，,3),，,b,(4,，,6),；,(3),a,(,1,，,4),，,b,(3,，,12),；,思考,2,以上几组向量中，,a,，,b,共线吗？,答案,答案,共线,.,思考,3,当,a,b,时，,a,，,b,的坐标成比例吗？,答案,坐标不为,0,时成正比例,.,思考,4,如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？,答案,答案,能,.,将,b,写成,a,形式，,0,时，,b,与,a,同向，,0,时，,b,与,a,反向,.,(1),设,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，其中,b,0,，,a,，,b,共线，当且仅当存在实数,，使,a,b,.,(2),如果用坐标表示，可写为,(,x,1,，,y,1,),(,x,2,，,y,2,),，当且仅当,_,时，向量,a,，,b,(,b,0,),共线,.,注意：对于,(2),的形式极易写错，如写成,x,1,y,1,x,2,y,2,0,或,x,1,x,2,y,1,y,2,0,都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减,.,梳理,x,1,y,2,x,2,y,1,0,题型探究,类型一向量共线的判定与证明,例,1,(1),下列各组向量中，共线的是,A.,a,(,2,，,3),，,b,(4,，,6),B.,a,(2,，,3),，,b,(3,，,2),C.,a,(1,，,2),，,b,(7,，,14),D.,a,(,3,，,2),，,b,(6,，,4),答案,解析,解析,A,选项，,(,2),6,3,4,24,0,，,a,与,b,不平行；,B,选项，,2,2,3,3,4,9,5,0,，,a,与,b,不平行；,C,选项，,1,14,(,2),7,28,0,，,a,与,b,不平行；,D,选项，,(,3),(,4),2,6,12,12,0,，,a,b,，故选,D.,解答,(2),已知,A,(2,，,1),，,B,(0,，,4),，,C,(1,，,3),，,D,(5,，,3).,判断,是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？,方法一,(,2),(,6),3,4,0,且,(,2),40,，,反思与感悟,此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配,.,证明,证明,设,E,(,x,1,，,y,1,),，,F,(,x,2,，,y,2,).,例,2,已知,a,(1,，,2),，,b,(,3,，,2),，当,k,为何值时，,k,a,b,与,a,3,b,平行？,类型二利用向量共线求参数,解答,解,方法一,k,a,b,k,(1,，,2),(,3,，,2),(,k,3,，,2,k,2),，,a,3,b,(1,，,2),3(,3,，,2),(10,，,4),，,当,k,a,b,与,a,3,b,平行时，存在唯一实数,，,使,k,a,b,(,a,3,b,).,由,(,k,3,，,2,k,2),(10,，,4).,方法二由方法一知,k,a,b,(,k,3,，,2,k,2),，,a,3,b,(10,，,4),，,k,a,b,与,a,3,b,平行，,引申探究,1.,若例,2,条件不变，判断当,k,a,b,与,a,3,b,平行时，它们是同向还是反向？,解答,k,a,b,与,a,3,b,反向,.,2.,在本例中已知条件不变，若问题改为,“,当,k,为何值时，,a,k,b,与,3,a,b,平行？,”,，又如何求,k,的值？,解答,解,a,k,b,(1,，,2),k,(,3,，,2),(1,3,k,，,2,2,k,),，,3,a,b,3(1,，,2),(,3,，,2),(6,，,4),，,a,k,b,与,3,a,b,平行，,(1,3,k,),4,(2,2,k,),6,0,，,反思与感悟,根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理,a,b,(,b,0,),，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式,x,1,y,2,x,2,y,1,0,求解,.,跟踪训练,2,设向量,a,(1,，,2),，,b,(2,，,3),，若向量,a,b,与向量,c,(,4,，,7),共线，则,_.,解析,a,b,(1,，,2),(2,，,3),(,2,，,2,3),，,a,b,与,c,共线，,(,2),(,7),(2,3),(,4),2,0,，,2.,答案,解析,2,类型三三点共线问题,解答,(4,k,)(,k,12),7,(10,k,),，解得,k,2,或,11,，,当,k,2,或,11,时，,A,，,B,，,C,三点共线,.,反思与感悟,(1),三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：,证明向量平行；,证明两个向量有公共点,.,(2),若,A,，,B,，,C,三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线,.,证明,A,，,B,，,C,三点共线,.,当堂训练,1.,已知,a,(,1,，,2),，,b,(2,，,y,),，若,a,b,，则,y,的值是,A.1 B.,1,C.4 D.,4,解析,a,b,，,(,1),y,2,2,0,，,y,4.,答案,2,3,4,5,1,解析,2.,与,a,(12,，,5),平行的单位向量为,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,设与,a,平行的单位向量为,e,(,x,，,y,),，,3.,已知三点,A,(1,，,2),，,B,(2,，,4),，,C,(3,，,m,),共线，则,m,的值为,_.,答案,解析,6,即,(1,，,2),(2,，,m,2),(2,，,m,2,).,2,3,4,5,1,即,m,6,时，,A,，,B,，,C,三点共线,.,4.,已知四边形,ABCD,的四个顶点,A,，,B,，,C,，,D,的坐标依次是,(3,，,1),，,(1,，,2),，,(,1,，,1),，,(3,，,5).,求证：四边形,ABCD,是梯形,.,证明,2,3,4,5,1,证明,A,(3,，,1),，,B,(1,，,2),，,C,(,1,，,1),，,D,(3,，,5).,AB,CD,，且,AB,CD,，,四边形,ABCD,是梯形,.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,规律与方法,1.,两个向量共线条件的表示方法,已知,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，,(1),当,b,0,，,a,b,.,(2),x,1,y,2,x,2,y,1,0.,(3),当,x,2,y,2,0,时，,，即两向量的相应坐标成比例,.,2.,向量共线的坐标表示的应用,(1),已知两个向量的坐标判定两向量共线,.,联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题,.,要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行,.,(2),已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程,.,要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据,.,本课结束,
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