3.因式分解与有理系数多项式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,习题课教师,习题课周次,星期,节次,习题课教室,黄漪,第,5,7,9,13,15,周,周,4,第,6,大节,四教,4102,马琴,第,5,7,9,13,15,周,周,5,第,3,大节,四教,4102,张芡,第,5,7,9,13,15,周,周,5,第,4,大节,四教,4102,吕慧,第,5,7,9,13,15,周,周,5,第,6,大节,四教,4102,1,定义,1,若,F,是一个数域,f,(,x,),g,(,x,),F,x,若,F,x,中存在,元素,d,(,x,),满足,(1),d,(,x,),|f,(,x,),d,(,x,),|g,(,x,),(,2),若,c,(,x,),|f,(,x,),和,c,(,x,),|g,(,x,),则,c,(,x,),|d,(,x,),则称,d,(,x,),为,f,(,x,),和,g,(,x,),的最大公因式,.,定理,1,若,F,是一个数域,f,(,x,),g,(,x,),F,x,则,f,(,x,),g,(,x,),的,最大公因式存在,且存在,u,(,x,),v,(,x,),F,X,使得,(,f,(,x,),g,(,x,),=,u,(,x,),f,(,x,)+,v,(,x,),g,(,x,).,定理,2,(,f,(,x,),g,(,x,),=,1,存在,u(,x,),v(,x,),F,x,使得,u(,x,),f,(,x,)+,v(,x,),g,(,x,)=1,.,定义,3,若数域,F,上的,非常数多项式,f,(,x,),可表为两个非,常数多项式,g,(,x,),和,h,(,x,),的乘积,则称,f,(,x,),在,F,上是可,约,否则称,f,(,x,),是不可约,.,常数既不是可约的,也不是,不可约的,一次多项式显然是不可约的,.F,上的二、三,次多项式在,F,上是不可约的,其在,F,中无根,.,2,例,3,x,2,-2,在,Q,上不可约,在,R,上可约,.,x,2,+1,在,R,上不可,约,在,C,上可约,.,引理,3,设,p,(,x,),是一个不可约多项式,若,p,(,x,),|f,(,x,),g,(,x,),则,p,(,x,),|f,(,x,),或,p,(,x,),|g,(,x,).,证明,不妨设,p,(,x,),不能整除,f,(,x,),因为,p,(,x,),是一个不可约,多项式,所以,p,(,x,),的因式只能是非零常数或非零常数乘以,p,(,x,),而非零常数乘以,p,(,x,),不能整除,f,(,x,),故,(,p,(,x,),f,(,x,),=1,由引理,2,可知,p,(,x,),|,g,(,x,),.,定理,4,若,F,是一个数域,则,F,上的一元多项式环,F,x,中,的任意次数大于等于,1,的,首项系数为,1,的多项式,(,称为首,1,多,项式,),f,(,x,),可分解为有限个首,1,不可约多项式的乘积,.,且若,f,(,x,),=,p,1,(,x,),p,2,(,x,),p,s,(,x,),=,q,1,(,x,),q,2,(,x,),q,t,(,x,),为,f,(,x,),分解为,首,1,不可约多项式的乘积的两个分解式,则适当调整次序,3,可使,p,i,(,x,),=,q,i,(,x,),这里,1,i,s.,证明,不妨设,f,(,x,),可约,则,f,(,x,),=,f,1,(,x,),f,2,(,x,),这里,f,1,(,x,),和,f,2,(,x,),为首,1,非常数多项式,由第二数学归纳法可设,f,1,(,x,),和,f,2,(,x,),可分解为首,1,不可约多项式的乘积,故,f,(,x,),可分解,为首,1,不可约多项式的乘积,.,若,f,(,x,),=,p,1,(,x,),p,2,(,x,),p,s,(,x,),=,q,1,(,x,),q,2,(,x,),q,t,(,x,),为,f,(,x,),分解,为首,1,不可约多项式的乘积的两个表达式,由引理,3,存在,i,这里,1,i,t,使,p,s,(,x,),|q,i,(,x,),不妨设,i,=,t.,因为,q,t,(,x,),是一个不可约多项式,其因式只能是非零常数或非零常数乘以,q,t,(,x,),故,p,s,(,x,),=,q,t,(,x,),所以,由归纳假设可知,s=t,且适当排序有,4,1799,年高斯,(Carl,Friederich,Gauss,17771855),在他的博,士论文中证明了的代数学基本定理,:,“,一个非常数复系数,代数方程在复数域上至少有一个根”,.,由此可知复系数不可约多项式均为一次的,.,由此可证,:,任意一个非常数首,1(,首项系数为,1,的,),复系数,多项式总可以唯一分解为一次因式的乘积,:,其中,5,例,4,(,棣美弗定理,)(cos,+,i,sin,),n,=cosn,+,i,sinn,证明,当,n=1,时命题成立,设,n-1,时命题成立,则,(cos,+,i,sin,),n,=(cos,+,i,sin,),n-1,(cos+,i,sin),=(cos(n-1)+,i,sin(n-1)(cos+,i,sin),=cos(n-1)cos-sin(n-1)sin,+i,(sin(n-1),cos+sin,cos(n-1),),=cosn+,i,sinn,由归纳法可知对任意正整数,n,命题成立,.,由书上,P.5,推论,3,可知,6,引理,4,实系数多项式,f,(,x,),的复根总是成共轭对出现,.,即若,是其根,则,也是其根,.,证明,设,引理,5,实系数不可约多项式,f,(,x,),的次数等于,1,或,2.,证明,由代数基本定理,f,(,x,),有复根,若,是实数,则,x,为不可约多项式,f,(,x,),的因式,此时,f,(,x,),为一次多项式,.,若,不是实数,则由引理可知,也是其根,且,由书上,P.5,推论,3,可知,为不可约多项式,f,(,x,),的因式,此时,f,(,x,),为二次多项式,.,7,定理,5,任意一个非常数首,1(,首项系数为,1,的,),实系数多项式,总可以唯一分解为一次和二次因式的乘积,:,这里,例,5,在实数域上因式分解,x,4,+,x,2,+1,.,解,命,x,4,+,x,2,+1,=,(,x,2,+k,x,+1)(,x,2,+,lx,+1,),则,k+,l,=0,2+k,l,=1,解得,k,=1,l,=1,或,k=1,l,=1.,x,2,+,x,+1,和,x,2,x,+1,在实数域上不可约。,8,多项式的根和系数的关系,(Vieta,定理,),定理,6,设,则,9,例,6,求一个二次多项式,它的两个根为,x,2,+b,x,+c,的两个,根的立方,.,解,记,x,2,+b,x,+c,的两个根为,k,和,l,则,k+,l,=,-b,k,l,=,c,k,3,+,l,3,=,(k+,l,)(k,2,k,l,+,l,2,)=-b(b,2,-3c),(k,l,),3,=,c,3,.,所求的二次多项式为,x,2,+b(b,2,-3c),x,+c,3,.,10,定义,1,设,a,b,Z,若存在整数,c,使得,a,=,bc,则称,b,整除,a,记为,b|a,否则,称,b,不能整除,a,.,若,b,能整除,a,则称,b,为,a,的,因数,(,或,因子,),a,为,b,的,倍数,.,带余除法定理,设,a,b,Z,b,0,则存在,q,r,Z,使,a,=,bq,+,r,0,r,|,b,|,且,q,和,r,由,a,b,唯一决定,分别称为商和余数,.,证明,先证,q,和,r,的存在性,.,记,S,=,a,bk,|,k,Z,显然,S,中包含非负整数,设,r,是,S,中的,最小非负整数,则,r,b,0,由带余除法定理有,a,=,bq,1,+,r,1,0,r,1,b,b,=,r,1,q,2,+,r,2,0,r,2,r,1,r,1,=,r,2,q,3,+,r,3,0,r,3,r,2,r,2,=,r,3,q,4,+,r,4,0,r,4,r,3,r,s-2,=,r,s-1,q,s,+,r,s,，,0,r,s,r,s-1,因为,0,r,s,r,s-1,r,2,r,1,b,所以存在非负整数,n,使得,0,=,r,n+1,0,t,0,n,=,s+t,因为,p,|,a,0,但,p,2,不能整除,a,0,所以不妨设,p,|,b,0,但不能整除,c,0,又因为,p,不能整除,a,n,故,p,不能整除,b,s,设,p,能整除,b,0,b,1,b,k,1,但,p,不能整除,b,k,所以,p,不能整除,a,k,=,b,0,c,k,+,b,1,c,k,1,+,+,b,k,1,c,1,+,b,k,c,0,这里,k,s,n,与题设矛盾,.,22,定义,6,设,f,(,x,),g,(,x,)Z,x,若存在,q,(,x,)Z,x,使得,f,(,x,),=,g,(,x,),q,(,x,),则称在,Z,x,中,g,(,x,),能整除,f,(,x,),g,(,x,),称为,f,(,x,),在,Z,x,中的因式,f,(,x,),称为,g,(,x,),在,Z,x,中的倍式,否,则称,g,(,x,),在,Z,x,中不能整除,f,(,x,).,在,Z,x,中,2,不能整除,x,.,在,Z,x,中带余除法定理不成立,例如不存在整系数多项式,q(x),和次数小于,deg 2=0,的整,系数多项式,(,只能是零多项式,),使得,x,=2q(,x,)+0.,若整系数多项式,f,(,x,),可表为两个整系数多项式,g,(,x,),和,h,(,x,),的乘积,且,f,(,x,),g,(,x,),和,h,(,x,),均不等于,零或正负,1,则,称整系数,f,(,x,),在,Z,x,中可约,否则称,f,(,x,),在,Z,x,中是不,可约的,.,0,和正负,1,在,Z,x,中既不是可约的,也不是不可约的,.,P.17,倒数第,79,行改错,.,23,例,4,判断下面的结论是否正确,并说明理由,:,(1),2,x,是,Z,x,中不可约多项式,.,(2),2,是,Z,x,中不可约多项式,.,(3),2,是,Q,x,中不可约多项式,.,解,(1),2,x,是,Z,x,中可约多项式,因为,2,和,x,是,Z,x,中不,可约多项式,.,(2),2,是,Z,x,中不可约多项式,(3),2,既不是,Q,x,中不可约多项式,也不是,Q,x,中可约,多项式,.,24,例,5,设,p,是一个素数,则,f,(,x,)=,x,p-1,+,x,p-2,+,+,x,+1,在,Q,上,不可约,.,证明,由于,f,(,x,),可约,f,(,x,+1,),可约,.,由算术基本定理可知,f,(,x,+1),满足,Eisenstein,判别法,故,f,(,x,),在,Q,上不可约,.,f,(,x,),称为,p,次分园多项式,.,25,例,6,由,P.12,例,8.8,可知,为,5,次分园多项式,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1,=0,的根,为,y,2,+,y,-1,=0,的根,由此可用尺规作,正五边形,.,1796,年高斯,(Carl Friedrich Gauss,17771855),给出,正十,七边形,的作法,.,高斯在,19,岁时就发现了正十七边形的尺,规作法,对他本人可以说是刻骨铭心的事件,.,因此,在他,的墓碑上刻上了正十七边形,作为永久的纪念,.,26,第三讲习题,习题八,(PP.18-19):25,补充题：,1.,设,f,(,x,)=,x,4,+,x,2,+,ax,+b,g,(,x,)=,x,2,-,x,+2,求,a,和,b,使得,(,f,(,x,),g,(,x,)=,g,(,x,).,2.,设,f,(,x,),g,(,x,),F,x,p,(,x,),在,F,上不可约,若,p,(,x,)|,(,f,(,x,)+,g,(,x,),p,(,x,)|,f,(,x,),g,(,x,),证明,:,p,(,x,)|,f,(,x,),p,(,x,)|,