轨迹与方程(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 轨迹与方程,作为点的轨迹，,平面曲线,方程,F(x,y)=0,或,y=f(x),曲面,方程,F(x,y,z)=0,或,z=f(x,y),空间曲线,方程,所谓一一对应：,1。凡在轨迹上的点其坐标一定满足方程；,2。坐标满足方程的点一定在轨迹上。,（,1）,（,2）,（,3）,（,1），（2），（3）分别称为平面曲线，曲面和空间曲线的一般方程。,这样就能把讨论点的轨迹这一几何问题转化为研究方程的代数问题。,在上述一般方程中，动点的轨迹是反映两个坐标,x,与,y,之间的依赖关系。,曲线的轨迹也能表现为动点的位置随时间,t,变化的规律.,记作：,或,（,4）,（,5）,（,6）,公式（5）称为平面曲线的矢量式参数方程；公式（6）称为空间曲线的矢量式参数方程。,在确定了坐标标架,O；e1,e2,或,O;e1,e2,e3,以后，有：,（7） 或,为平面曲线和空间曲线的坐标式参数方程。,（8）,分别称,在曲面的一般方程,F(x,y,z)=0,中，有,x,y,z,三个变量，但三个变量之间只有一个约束。因此，在曲面的参数方程中应该有两个参数。,曲面的矢量式参数方程：,或,曲面的坐标式参数方程为：,对于比较复杂的曲线或曲面，用参数方程表示，通常比用一般方程表示，形式要简单一些，有时还能更直观地反映出动点的变化规律。,2。1 平面曲线的方程,例,1。已知直线,L,通过定点,M(a,b),并且它与非零矢量,v=X,Y,共线，求直线,L,的方程。,.,M(a,b),L,v(X,Y),解：,在直线上任取一点,P(x,y),记,O,P(x,y),（,1）,（,2）,消去参数,t,得,L,的对称式方程：,（,3）,或写成,L,的,一般方程：,直线,L,的矢量式参数方程为：,直线,L,的坐标式参数方程为：,称对称式方程中的,X，Y,为,L,的方向矢量。易知：一般方程中的糸数,B，-A,是,L,的方向矢量。,那就是说，如果考察直线,L,的一般方程：,就是,L,的方向矢量，,如果给定两条直线：,那么，两直线平行，重合，相交的充要条件分别是：,如记：,两直线的夹角为：,就是垂直于,L,的直线的方向矢量，称为,L,的法矢量。,注意两矢量夹角与两直线夹角之间的区别：,例,2。一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点,P,的轨迹。,y,x,O,p,C,A,a,解：,取直角坐标糸，半径为,a,的,圆在,x,轴,上滚动，开始时,P,恰好在原点,O，,经过一定时间的滚动，圆与直线的切点移到,A，,圆心移到,C。,r=OP=OA+AC+CP,因此，曲线的坐标式参数方程为：,该曲线称为摆线。,这是曲线的矢量式参数方程。,P。74,例5内摆线和,P。77,例6渐伸线及,P。81,习题8外旋轮线，习题9箕舌线轨迹方程的建立，都采用与上题相同的思路：,1。建立各矢量间的关系；,2。写出各矢量在直角坐标糸中的分矢量；,3。写出曲线的矢量式参数方程和坐标式参数方程。,关于曲线参数方程与一般方程的互换：,2。在曲线的一般方程中，适当地选择参数,t,找,出,t,与,x,的,关系,x=x(t)，,然,后代入方程求出,y=y(t),得出曲线的参数方程。,3。因参数选择可以不同，化一般方程为参数方程，其表示形式一般不是唯一的。,例,1。将椭圆 的一般方程化为参数方程,代入原方程，解得：,1。在曲线的参数方程中，消去参数可得曲线的一般方程；,解1：,解2：,习题讲解,P。80,3。,解：,。,。,。,y,x,P(x,y),F(-c,0),G(c,0),按题意，有方程：,经整理，得：,化简，得：,此方程表示的曲线称卡西尼卵形线。,坐标轴选择如图所示，并设,P（x,y),为曲线上的一个动点,。,由本题可见，正确地选择坐标，能使曲线的轨迹方程得以简化。,P。80 4。,解：设等轴双曲线的参数方程为：,三角形三顶点,P(x1,y1)，Q(x2,y2),，R(x3,y3),都在双曲线上，且其垂心为,H(x,y)，,如图。,P,Q,R,H,则有：,PH,=x-x1,y-y1,RH=x-x3,y-y3,PQ=x2-x1,y2-y1,QR=x3-x2,y3-y2,即：(,x-x1)(x3-x2)+(y-y1)(y3-y2)=0,(x-x3)(x2-x1)+(y-y3)(y2-y1)=0,因为,这是一个二元一次线性方程组。可用二阶行列式求解，解之得：,用,代入，得：,即垂心,H,在已知的等轴双曲线上。,因此有,作业：,P.80 2;6;,7.（2）;8.(2),(3);10.,2.2 曲面的方程,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,因此球面方程是一个三元二次方程。,反之，如给出三元二次方程：,（二次项糸数相等）；,（交叉项糸数为零）时，,方程（1）可通过配方得：,当,当,且,（,1）,当,0时，表示球面；,=0时，是一个点（称点球）；,0时，无实图形（称虚球面）,例2：求中心在原点半径为,R,的球的参数方程,。,x,y,z,O,M,P,Q,R,解：,其中参数,因此，它的坐标式参数方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例,4 求以,z,轴为对称轴，半径为,R,的圆柱面的参数方程,z,x,y,o,P,M,r,Q,解：,设,M,是圆柱面上的一点，,M,在,xoy,上的射影为P，P在,x,轴上的射影为Q,ox至op的夹角为,它的坐标式参数方程为,其中参数,例,4,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,作业,P。88,1; 2.(4); 4.(3); 5.,2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,， 动直线 叫柱面的,母线,.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 ,母线 / 轴,双曲柱面，母线 / 轴,抛物柱面，母线 / 轴,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,口答：,P。90,习题,2。4 空间曲线的方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线,C,可看作空间两曲面的交线.,特点,：,例,1,方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2,方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,例,3 写出,OZ,轴的方程,OZ,轴可以看成坐标面,x=0,和,y=0,的,交线，因此，其方程为：,OZ,轴也可以看成平面,x+y=0,和,x-,y=0,的,交线,因此，其方程也可写为：,这说明空间曲线可以用不同形式的方程来表示。,例,4 求在,xoy,坐标面上，半径等于,R，,圆心为原点的圆的方程,解：,半径为,R,的球面和平面,z=0,的交线,半径为,R,的球面和半径为,R,的圆柱面的交线,空间曲线的参数方程,动点从,A,点出发，经过,t,时间，运动到,M,点,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,即,上升的高度,螺距,当曲线旋转一圈，即,例 已知维维尼安曲线的,一般方程,y,x,o,o,a,p,求它的参数方程,解：,设,p(x,y),为维维尼安曲线上一点,M(x,y,z),在,xoy,面上的射影,如图。,因为点,p(x,y),在圆柱面上，故有,将它们代回球面方程，可解出,因此，维维尼安曲线的参数方程为,消去变量,z,后得：,曲线关于 的,射影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,射影柱面的,特征,：,空间曲线在坐标面上的投影,称为,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线,面上的,投影曲线,面上的,投影曲线,空间曲线在 面上的,投影曲线为,空间曲线,也可表示成任意两个,投影柱面的交线：,或,或,例如，空间曲线,分别消去,y,及,z，,得,关于,xoz,和,xoy,的射影柱面,因此，该曲线也可表示成这两个射影柱面的交线：,（,圆柱面）,（抛物柱面）,习题讲解,P。96,2。口答：,（,1）圆，椭圆，椭圆；,（,2）椭圆，双曲线，双曲线；,（,3）双曲线，无，双曲线；,（,4）点，抛物线，抛物线；,（5）两相交直线，抛物线，抛物线；,（,6）点，两相交直线，两相交直线。,3。求空间曲线,对三个坐标面的射影柱面方程。,解：,消去,z,得曲线关于,xoy,面的射影柱面方程：,（,圆柱面）,消去,x,得曲线关于,yoz,面的射影柱面方程,：,（圆柱面）,因为已知曲线在垂直于,xoz,坐标面的平面,z=x+1,上，因此 ，,z=x+1,就,是曲线关于,xoz,的射影柱面。,8。,z,x,y,P,o,Q,M,N,坐标轴选取如图。,设,P,为圆柱面上的一点，直线运动的速度为,v，,旋转运动的角速度为,w,由图可知：,OP=OQ+QP=OQ+QM+QN,OQ=(,vtcos,)k,QN=(,vtsin coswt,)i,QM=(,vtsin sinwt,)j,所以，圆锥螺线的参数方程为：,9.解：,取 方向为,z,轴方向,因此， 一方面在垂直于,z,轴的方向转动，另一方面又沿,z,轴正向运动.,设直线运动的速度为,v,旋,转角速度为,w，,并设时间,t,及直线 上一点至坐标原点的距离,u,为,两个参数。,则有,作业,P。96,1；3.(2),(4); 4.(1); 5; 7.,