复数的向量表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.2,复数的向量表示,任何一个复数,z,=,a,+,bi,都可以由一个有序实数对,(,a,b,),唯一确定,;,有序实数对,(,a,b,),与,平面直角坐标系中的点是一一对应的,.,复数,z,=,a,+,bi,可用点,Z(,a,b,),表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做,复平面,x,轴叫做,实轴,y,轴叫做,虚轴,.,x,y,o,Z,a,b,:,a,+,bi,实轴上的点都表示实数,;,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,.,按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,;,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,.,由此得,复数集,C,和,复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,.,即,复数,z,=,a,+,bi,复平面内的点,Z(,a,b,),一一对应,这是复数的一种几何意义,.,当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为,共轭复数,虚部不等于,0,的两个共轭复数也叫做互为,共轭虚数,.,复数,z,的共轭复数用 表示,即如果,z=,a,+,bi,那么,=,a,bi,.,当复数,z=,a,+,bi,的虚部,b,=0,时,有,z,=,即任一,实数的共轭复数仍是它本身,.,这是判断一个数是否是实数的一个准则,.,在复平面内,如果点,Z,表示复数,z,点,表示,复数,那么点,Z,和 关于实轴对称,.,复平面内与一对共轭复数对应的点,Z,和 关于实轴对称,.,x,y,o,x,y,o,Z,:,a,+,bi,b,-b,:,a,+,bi,Z,:,a,+,bi,b,-b,:,a,+,bi,共轭复数有如下一些,性质,:,在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的,这样,可以用平面向量来表示复数,.,设,复平面内的点,Z,表示复数,z=,a,+,bi,连结,OZ,则向量 是由点,Z,唯一确定的,;,反过来,点,Z(,相对于原点来说,),也可以由向量 唯一确定,.,x,y,o,Z,:,a,+,bi,复数集,C,与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的,(,实数,0,与零向量对应,),即,复数,z,=,a,+,bi,平面向量,一一对应,为,方便起见,常把复数,z=,a,+,bi,说成点,Z,或者说成向量,并且规定,:,相等的向量表示同一个复数,.,复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点,O,.,若起点不统一,是原点以外的其它点,复数与向量就不能建立一一对应关系,.,点,Z(,a,b,),是复数,z=,a,+,bi,(,a,b,R,),的另外两种表示形式,它们都是复数,z=,a,+,bi,的几何表示,.,向量,复数,z=,a,+,bi,(,a,b,R,),复平面上的点,Z(,a,b,),一一对应,向量 的模,r,叫做复数,z=,a,+,bi,的,模,(,或,绝对值,),记作,|,z,|,或,|,a,+,bi,|.,如果,b,=0,那么,z=,a,+,bi,是一个实数,a,它的模等于,|,a|,(,即实数的绝对值,).,由模的,定义可知,(,显然,r,0,r,R,),|,z,|=|,a,+,bi,|,有,以下几种情况,:,几何意义,:,在数轴上,a,的对应点到原点的距离,.,模的,几何意义,:,复数的模表示向量 的长度,也就是复平面上的点到原点的距离,由此可得到复平面上两点间的距离公式,:,d,=,z,1,-,z,2,(,z,1,z,2,C),例,2.,设,z,C,满足下列条件的点,z,的集合是什么图形,?,(1)|z|=4;(2)2|z|4.,x,y,o,x,y,o,例,1.,当实数,m,为何值时,复数,(m,2,-8m+15)+(m,2,+3m-28),i,在复平面中的对应点,:(1),位于第四象限,;(2),位于,x,轴的负半轴上,.,例,2.,复数,z,=log,2,(x,2,-3x-3)+,i,log,2,(x-3),设,z,在复平面中的对应点为,Z.(1),求证,:,复数,z,不能是纯虚数,;(2),若点,Z,在,第三象限,求,x,的取值范围,;(3),若点,Z,在直线,x-2y+1=0,上,求,x,的值,.,-7m3,m=4,1.,复平面问题,2.,共轭复数问题,例,1.,已知复数,z,1,=,m,2,+1+(,m,2,+,m,),i,与,z,2,=2+(1-3,m,),i,(,m,R,),是共轭复数,求,m,.,m=1,3.,复数模的有关问题,例,1.,复数,z,=1+,itan,200,0,的模,_.,sec20,0,例,3.,复数,z,=4+,ti,的模小于,5,则实数,t,的取值范围是,_.,-3,t,3,例,4.,已知实数,m,满足不等式,log,2,m,+4,i,5,则,m,的取值范围是,_.,4.,复数,复数模的图形问题,例,1.,复数,z=icos,0,2),的几何表示是,()(A),虚轴,;(B),虚轴除去原点,;(C),线段,PQ,点,P,Q,的坐标分别为,(0,1),(0,-1);(D)C,中线段,PQ,但应除去原点,.,C,例,2.,设,z=,x,+,yi,(,x,y,R,),在,复平面上画出满足下列条件的点,Z,的集合所表示的图形,:(1)xR,且,yR;(2)x4,且,0y2;(3)z2,且,x+y=2;(4)z=,x,+,yi,x,0,且,x,2,+y,2,9.,5.,最大值,最小值问题,例,1.,若复数,z,对应点集为圆,:,试求,z,的,最大值与最小值,.,x,y,o,o,1,2,1,1,3,1,x,y,o,z,1,4,0,2,2,