大学计算机组成原理 第2章 运算方法和运算器2

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,定点加法、减法运算,2.2.1,补码加法,2.2.2,补码减法,2.2.3,溢出概念与检验方法,2.2.4,基本的二进制加法减法器,2.2.1,补码加法,补码加法的公式是,x,补,+,y,补,=,+,补,在模,2,n+1,意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码,2.2.1,补码加法,(,续,1,）,0,，,0,，则,0,。,相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原码是一样的，可得：,x,补,+,y,补,=,+,=,+,补,(mod 2,n+1,),分四种情况来证明,:,2.2.1,补码加法,(,续,2,）,0,0,则,0,或,0,时,:,故,x,补,y,补,=,+,补,(mod,2,n+1,),当,x+y0,时,:,2,n+1,+(x+y),2,n+1,，又因,(x+y)0,，,故,x,补,y,补,2,n+1,(,),=,+,补,(mod 2),2.2.1,补码加法,(,续,3,）,0,则,0,或,0,。,这种情况和第,2,种情况一样，把,和,的位置对调即得证。,2.2.1,补码加法,(,续,4,）,0,0,则,0,。,相加两数都是负数，则其和也一定是负数。,x,补,2,n+1,y,补,2,n+1,x,补,y,补,2,n+1,2,n+1,=2,n+1,(2,n+1,),x,补,y,补,2,n+1,(,),=,+,补,(mod 2),在模,2,n+1,意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。,这是,补码加法的理论基础,，其结论也适用于定点小数。,2.2.1,补码加法,(,续,5,）,例,11:,+1001,，,+0101,，,求,。,解：,例,12,：,1011,，,-0101,，,求,解：,由以上两例看到，,补码加法的特点,:,一是,符号位要作为数的一部分一起参加运算,二是,要在模,2,n+1,的意义下相加，即超过模的进位要丢掉。,例,11,之解,x,补,0,1001,y,补,0,0101,x,补,0,1001,y,补,0,0101,+,补,0,1110,所以,1110,返 回,例,12,之解,x,补,01011,y,补,11011,x,补,0,1011,y,补,1,1011,+,补,1,00110,所以,00110,返回,2.2.1,补码减法,补码减法的公式是,-,补,=,x,补,-,y,补,=,x,补,+-,y,补,(2.14),证明：,-Y,补,=-Y,补,(mod,2,n+1,),(2.17,),因为,X+Y,补,=X,补,+Y,补,(mod 2,n+1,),所以,Y,补,=X+Y,补,-X,补,又因为,X-Y,补,=X+(-Y),补,=X,补,+-Y,补,所以,-Y,补,=X-Y,补,-X,补,则,-Y,补,+Y,补,=X-Y,补,+X+Y,补,-X,补,-X,补,=X+Y+X-Y,补,-X,补,-X,补,=0,所以,-Y,补,=-Y,补,(mod,2,n+1,),从,y,补,求,-y,补,的法则,是：,对,补,包括符号位在内,“,按位求反且最末位加,1,”,，即可得到,-,补,。,写成运算表达式，则为：,-,补,补,(2.18),表示对,补,作,包括符号位在内的按位求反操作,表示最末位的,1,2.2.2,补码减法,（续,1,）,例,13,：,已知,1,1110,，,2,1101,，,求：,x,1,补，,-,x,1,补 ，,x,2,补，,-,x,2,补,。,解：,例,14,：,1101,，,0110,，,求,。,解：,例,10,之解,x,1,补,10010,-,x,1,补,x,1,补,2,0,01101,0001,01110,x,2,补,01101,-,x,2,补,x,2,补,2,0,10010,00001,10011,返回,例,11,之解,x,补,01101,，,y,补,00110,-y,补,11010,x,补,01101,-,y,补,11010,-,补,1,00111,所以,0111,返回,2.2.3,溢出概念与检验方法,以定点小数为例：,在定点小数机器中,数的表示范围为,|,|,x,0,2,n+2,+x=,2,n+2,-|x|,0,x,-2,n,溢出概念与检测方法,用同余式表示：,补,2,n+2,下式也同样成立：,补,补,补,计算时,：,1.,两个符号位都看作数码一样参加运算,2.,两数进行以,2,n+2,位模的加法,即最高符号位上产生的进位要丢掉。,采用变形补码后，如果两个数相加后，其结果的,符号位出现,“,01,”,或,“,10,”,两种组合时,表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于,1,的数相加,其结果不会大于或等于,2,。所以，最高符号位所表示的是,结果的正确符号,。,溢出概念与检测方法,得到两数变形补码之和等于两数之和的变形补码,补,补,补,(mod 2,n+2,),例,14,0.110,0,0.1000,求,。,溢出概念与检测方法,解,:,补,00.1100,补,00.1000,补,00.1100,补,00.1000,01,.0100,两个符号位出现,“,01,”,表示已溢出,即结果大于,1,。,上溢,又,例,0.110,0,0.0001,求,。,溢出概念与检测方法,解,:,补,00.1100,补,00.0001,补,00.1100,补,00.0001,00,.1101,两个符号位,=,“,00,”,表示,无溢出,。,例,15,0.1100,-0.1000,求,。,溢出概念与检测方法,解,:,补,11.0100,补,11.1000,补,11.0100,补,11.1000,10,.1100,两个符号位出现,“,10,”,表示已溢出,即结果小于,1,。,下溢,又例,0.0100,-0.1000,求,。,溢出概念与检测方法,解,:,补,11.1100,补,11.1000,补,11.1100,补,11.1000,11,.0100,两个符号位出现,“,11,”,表示,无溢出,。,溢出概念与检测方法,由此可以得出如下结论,：,1.,当以模,4,补码运算,运算结果的,二符号位相异,时,表示,溢出,；,相同,时,表示,未溢出,。,故溢出逻辑表达式为,V,S,f,1,S,f,2,其中,S,f,1,和,S,f,2,分别为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用,异或门,实现。,2.,模,4,补码相加的结果,不论溢出与否,最高符号位始终指示正确的符号。,溢出概念与检测方法,第二种溢出检测方法,：,采用,“,单符号位法,”,。,从例,1,和,例,2,中看到,:(1).,当最高有效位产生进位而符号位无进位时,产生,上溢,；,(2).,当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生,下溢,。,故：,溢出逻辑表达式为,：,V,C,r,C,o,其中,:,C,f,为符号位产生的进位,C,o,为最高有效位产生的,进位。（,显然：此逻辑关系可用异或门方便地实现,）。,在定点机中，当运算结果发生溢出时,机器通过逻,辑电路自动检查出溢出故障,并进行中断处理。,