教学目的与要求

,*,第六章 场论,教学目的与要求：,1.,掌握数量场的梯度、矢量场的散度和旋度的定义、基本计算公式，理解梯度、散度和旋度的几何、物理意义，掌握梯度、散度和旋度的计算方法。,2.,掌握有势场、无源场、调和场的概念，了解矢量场为有势场、无源场的充要条件。,3.,熟练掌握算子的运算规则。,4.,理解正交曲线坐标系的概念，掌握度规系数的定义、几何意义和计算方法，掌握坐标曲线正切线方向单位矢量的计算方法，掌握球、柱坐标系中数量场的梯度、调和量的表示。了解球、柱坐标系中矢量场的散度和旋度的表示。,教学重点与难点：,重点：本章内容是本课程的重点之一。梯度、散度、旋度的概念，其几何、物理意义和计算方法，算子的运算规则是重点中的重点。,难点：散度和旋度的概念，散度和旋度的计算方法，算子的运算规则。,6.1,场,一、场的概念,如果在全部或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场，或者说物理量的空间分布称为场。若物理量是数量，则称该场为数量场，数量场可表示为；若物理量是矢量，则称该场为矢量场，矢量场可表示为,二、数量场的等值面,数量场中，由场中使物理量具有相同值的点组成的曲面。等值面方程为：,O,图,6.1,，,为常数，取不同的值得等值面簇。,三、矢量场的矢量线,矢量场中的曲线，在其上每一点，曲线都与该点的物理量相切。矢量线方程为：,O,图,6.1,例,1,位于坐标原点的点电荷在其周围空间中激发了静电场，电场强度为：，试求电场强度的矢量线方程，即电力线方程。,6.2,数量场的方向导数和梯度,一、数量场的方向导数,定义：如图,6.3,所示，,M,为数量场 中的一点，从,M,点出发引一半射线 ，在,M,上的邻近取动点 ，若极限,存在，则称该极限为数量场,u,在点,M,沿 的方向导数，记为 。,若 ，则在,M,点沿方向数 量场,u,递增；若 则在点沿方向数 量场,u,递减。,图,6.3,M,2,在直角坐标系中方向导数的计算公式,若数量场 在点可微（即,u,的偏导数在,M,点连续），方向的单位矢量为,则：。,证：,例,1,：求数量场在点处沿方向的方向导数。,解：,1.,数量场的方向导数与梯度,(1),数量场,u,的方向导数：,M,是数量场 中的点，从点出发引半射线 ，在 上取,M,的邻点 ，则数量场 在点沿的方向导数,(2),数量场的梯度：若在数量场 中的点,M,，存在这样一个矢量 ，使得数量场在,M,点沿 的方向导数为最大，且 正好是这个最大方向导数的值，则称为数量场 在,M,点的梯度，记为 。,例,2,：若，试求 ，,为常矢量。,3.,梯度的基本性质,（,1,）数量场在,M,点处沿的方向导数 等于数量场在,M,点处的梯度在 方向的投影，即,（,2,）数量场在,M,点处的梯度垂直于过该点的等值面，指向数量场增加的一侧。,例,3,：静电场的基本特征：,(1),电力线垂直于等势面，,(2),沿电力线方向电势减小。在数学上，这两个基本特征可表示为：,（为电势函数）。,三、梯度运算的基本公式,1,2,3,例,4,：位于坐标原点、电量为,q,的点电荷，在空间中激发了静电场，电场的电势函数为 ，试求电场强度。,解：,例,5,：试求，是常矢量。,解：,一、矢量场的通量,1.,通量的定义：在矢 量场中，沿场中有向曲面,S,的第二类曲面积分 称为矢量场 向指定一侧穿过,S,的通量。,2.,沿闭合曲面正侧通量的物理意义,6.3,矢量场的通量和散度,3.,通量的计算公式,4.,奥氏公式,，其中为闭曲面所围的区域,二、矢量场的散度,1.,散度的定义,M,是矢量场 中点，在,M,的邻域内，任取包围的闭曲面 ，所围区域的体积为 ，若极限,存在，则称该极限为矢量场 在,M,点的散度，记为 ，或 。,2.,散度的物理意义,矢量场在点的散度代表该点散发出矢量线的通量密度，反映该点矢量线源的强度。,例,1,：在静电场中，电荷是电力线的源，电力线始于正电荷，止于负电荷。真空中，电场的高斯定理反映电通量与电荷之间的关系，高斯定理也可表示为 ，其中是电荷密度函数。,3.,直角坐标系中散度的表示式,例,2,：若 ，试求 。,三、散度运算的基本公式,1,高斯公式：，其中为所围区域,2,3,例,3,：位于坐标原点、电量为的点电荷，在空间中激 发了静电场，电场强度为 ，试求 。,6.4,矢量场的环量和旋度,问题：已知时变磁场的空间分布 ，试研究如何确定该磁场的变化率 。,一、矢量场的环量,1.,环量的定义,在矢量场中 ，沿场中有向闭曲线的第二类曲线积分 称为矢量场按积分指定方向沿曲线的环量。,2.,斯托克斯公式,其中,S,是以 为边界的任意有向曲面，的方与环 绕方向成右手关系。,3.,环量面密度定义,M,是矢量场 中的点，在,M,点取定一个方向 ，过点作小曲面 ，以 为其在点,M,的法方向，该曲面的面积记为 ，其边界 的环绕方向与 成右手关系，如图,6.8,所示，若极限,存在，则称该极限为矢量场在点沿方向的环量面密度，记为 。,图,6.8,M,4.,直角坐标系中环量面密度的计算公式,若方向的单位矢为 ，则有：,二、矢量场的旋度,1.,旋度的定义,对矢量场 中,M,点，存在一个矢量，满足：,(1),矢量场在,M,点沿 方向的环量面密度最大；,(2),该最大的环量面密度等于的 大小；则称这样的矢量为矢量场 在点,M,处的旋度。记为 ，或 。,2.,在直角坐标系中旋度的表示,3.,矢量场旋度的性质,矢量场 在,M,点沿方向 的环量面密度等于 在点的旋度在方向 的投影，即,例,2,：在本节开始时研究的磁场变化率问题中，试找 出磁场的变化率与电场旋度之间的关系。,三、旋度运算的基本公式,1.,斯托克斯公式：，其中,S,是以 为边界的任意曲面，,S,的方向与 的方向成右手关系。,2.,3.,4.,6.5,几种重要的矢量场,为将场论的基本知识应用到物理学中，本节研究物理上常见的几种重要矢量场。,一、有势场,1.,定义,对矢量场 ，若存在单值函数 ，使得 ，则称该矢量 场为有势场，,u,为其势函数，势函数可以相差一个常数。,2.,矢量场有势的充要条件,在线单连域内矢量场为有 势场的充要条件是矢量场 为无旋场。,【,注,】,如果空间区域,G,内的任一简单闭曲线 ，都可以 作一个以为边界且全部位于区域内的曲面，则称此区域为线单连域。,二、无源场,1.,定义,对矢量场 ，若其散度 ，则称该矢量场 为无源场。,2.,矢量场无源的充要条件,在面单连域内矢量场 为无源场的充要条件为：存在另一矢量场 ，使得 。称为无源场的矢势，矢势可以相差任意函数的梯度。,如果空间区域,G,内的任一简单闭曲面,S,所包围的全部点，都在区域,G,内，则称此区域为面单连域。,三、调和场,1.,定义,若矢量场 是无源、无旋的矢量场，则称该矢量场为 调和场。,2.,函数,u,的梯度的散度 称为该函数的调和量，记为 ，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中拉普拉斯算子可表示为,3.,调和场的势函数满足拉普拉斯方程 ，称这样的函数称为调和函数。,6.6,哈密顿算子,为方便复杂数量场的梯度、复杂矢量场的散度和旋度的计算，本节引进算子，研究该算子的运算规律。,一、哈密顿算子的定义,1.,定义,记 ，是矢量性微分算子，称为哈密顿算子，读作“,Nabla,”,，或“,del”,。,数量场 的梯度 可看成 是左数乘,u,，读作“,Nabla,u,”,，或“,del,u,”,。,矢量场 的散度可看成是 左点乘 ，读作“,Nabla,dot,A,”,，或“,del dot,A,”,。,矢量场 的旋度可看成是 左叉乘 ，读作“,Nabla,cross,A,”,，或“,del cross,A,”,。,2.,二个辅助微分运算,记 ；。,与数量场的梯度、矢量场的散度和旋度不同，和 没有特定的几何、物理意义，他们只是二种辅助的微分运算。在这二种运算中 右点乘（即 ）是个数量性的微分运算符，而 左点乘（即 ）代表矢量场的散度，注意此处 与 的点乘是不可交换的。,2.,几个辅助公式,(1),，。,(2),。,二、哈密顿算子的运算规则,是矢量性微分算子，其运算满足矢量运算和微分运算二重规则，即,1.,矢量运算规则,混合积运算规则：；,二重矢积运算规则：。算子可视为一个矢量参与混合积和二重矢积运算，并遵从相应的运算规律。,2.,微分运算规则,逐项求导规则：，即两因子乘积的导数是两项之和，一项为第一个因子不变（或不求导）第二个因子求导，另一项为第二个因子不变（或不求导）第一个因子求导，算子服从这个求导规则。,在 算子与矢量场的矢量运算中，不能简单地将不求导的因子直接移出 算子外，可将不求导的因子暂以下标,c,标识，待应用矢量运算规律将不求导的因子调整至 算子前，需求导的因子调整至算子后，或将 算子与需求导的因子置于括号内，不求导的因子置于括号外，此时 算子的运算对象明确，已没有必要以下标,c,标识，再将该标识去掉,6.7,梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示,一、正交曲线坐标系,1.,正交曲线坐标系的定义,如图,6.14,所示，对任意空间点 ，有另一坐标 与之,1-1,对应，二者的关系表示为,，,和，,图,6.14,y,x,z,曲线,曲线,曲线,当 和 固定，令连续变化时，所得曲线称为 曲线；当 和 固定，令 连续变化时，所得曲线称为 曲线；当 和 固定，令 连续变化时，所得曲线称为 曲线；这三条曲线称为坐标曲线。三条坐标曲线相交于点，记三坐标曲线在交点处的正切线方向的单位矢量为、和，如果、和在交点处相互正交，成右手关系，则称所构成的坐标系为正交曲线坐标系。,三条坐标曲线相交于 点，记三坐标曲线在交点处的正切线方向的单位矢量为 、和 ，如果 、和 在交点处相互正交，成右手关系，则称 所构成的坐标系为正交曲线坐标系。,2.,在正交曲线坐标系中场的表示,在正交曲线坐标系中，数量场表示为,矢量场表示为,二、正交曲线坐标系中的弧微分,1.,正交曲线坐标系中的度规系数,记,称 为正交曲线坐标系的度规系数，或拉梅系数。,2.,度规系数的几何意义,曲线坐标系中 曲线的弧微分等于 。,3.,坐标曲线正切线方向的单位矢量 的表示式,如图,6.16,所示，在正交曲线坐标系中，曲线两相邻点位矢的差 沿切线方向，与该曲线的弧微分 的比是该曲线正切线方向的单位矢量 ，因此,（）。,图,6.16,y,x,z,曲线,三、正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式,1,2,若,则,3,