D3_5极值与最值

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、,最大值与最小值问题,一、,函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第,三,章,一、,函数的极值及其求法,定义,:,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小点,称 为函数的,极小值,.,极大点与极小点统称为,极值点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,:,为极大点,为极小点,不是极值点,2),对常见函数,极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,.,1),函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,(P146,例,4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,1,(,极值第一判别法,),且在空心邻域,内有导数,(1),“,左,正,右,负,”,(2),“,左,负,右,正,”,(,自,证,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放,暂停,例,1.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求极值可疑点,令,得,令,得,3),列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,(,极值第二判别法,),二阶导数,且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,证,:,(1),存在,由第一判别法知,(2),类似可证,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值,;,又,故需用第一判别法判别,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,3,(,判别法的推广,),则,:,数,且,1),当,为偶数,时,是极小点,;,是极大点,.,2),当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点,.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,:,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如,例,2,中,所以,不是极值点,.,极值的判别法,(,定理,1,定理,3),都是充分的,.,说明,:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在,.,例如,:,为极大值,但不满足定理,1,定理,3,的条件,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到,.,求函数最值的方法,:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到,.,若在此点取极大 值,则也是最大 值,.,(,小,),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,.,(,小,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,.,解,:,显然,且,故函数在,取最小值,0;,在,及,取最大值,5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例,3.,求函数,说明,:,求最值点,.,与,最值点相同,由于,令,(,自己练习,),在闭区间,上的最大值和最小值,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,k,为某一常数,),例,4.,铁路上,AB,段的距离为,100 km,工厂,C,距,A,处,20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为,3,:,5,为使货,D,点应如何选取,?,20,解,:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km,时运费最省,.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大,?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例,6.,设有质量为,5 kg,的物体置于水平面上,受力,作,解,:,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题,.,为多少时才可使力,设摩擦系数,问力,与水平面夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小,?,令,解得,而,因而,F,取最小值,.,解,:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚,(,视角,最大,)?,观察者的眼睛,1.8,m,例,7.,一张,1.4 m,高的图片挂在墙上,它的底边高于,解,:,设观察者与墙的距离为,x,m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚,.,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,连续函数的极值,(1),极值可疑点,:,使导数为,0,或不存在的点,(2),第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3),第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4),判别法的推广,(Th.3),定理,3,目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找,;,应用题可根据问题的实际意义判别,.,思考与练习,(L.P500 题4),2.,连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处,().,的导数存在,取得极大值,;,取得极小值,;,的导数不存在,.,B,提示,:,利用极限的保号性,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,),不可导,;,(,B,),可导,且,(C),取得极大值,;,(,D,),取得极小值,.,D,提示,:,利用极限的保号性,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,是,方程,的,一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,;,(,B,),取得极小值,;,(,C,),在某邻域内单调增加,;,(,D,),在某邻域内单调减少,.,提示,:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小,.,解,:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题,1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解,:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,