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,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题九平面解析几何,9.5,抛物线及其性质,高考文数,考点一抛物线的定义及标准方程,考点,清单,考向基础,平面内到一个定点,F,和一条定直线,l,(,F,l,)距离相等的点的轨迹叫做抛物,线.点,F,叫做抛物线的焦点,直线,l,叫做抛物线的准线,抛物线关于过焦点,F,且,与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴.,在抛物线中,记焦点,F,到准线,l,的距离为,p,以抛物线的焦点,F,到准线,l,的垂线,段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线,的四种不同形式的标准方程,y,2,=,2,px,x,2,=,2,py,其中,p,0.,考向一抛物线定义的应用,考向突破,例1设圆,C,与圆,x,2,+(,y,-3),2,=1外切,与直线,y,=0相切,则圆,C,的圆心轨迹为,(),A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆,解析由题意知,圆,C,的圆心到点(0,3)的距离比到直线,y,=0的距离大1,即圆,C,的圆心到点(0,3)的距离与到直线,y,=-1的距离相等,根据抛物线的定义可,知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.,答案A,例2(2019广西梧州调研,6)若抛物线,x,2,=2,py,(,p,0)上一点(1,m,)到其准线的,距离为,则抛物线的方程为,(),A.,x,2,=,y,B.,x,2,=2,y,或,x,2,=4,y,C.,x,2,=4,y,D.,x,2,=,y,或,x,2,=4,y,考向二求抛物线的标准方程,解析由已知可得,m,=,则,+,=,化简得2,p,2,-5,p,+2=0,解得,p,=,或,p,=2,所以抛物线方程为,x,2,=,y,或,x,2,=4,y,.,答案D,考向基础,1.抛物线的几何性质,考点二抛物线的几何性质,2.点,P,(,x,0,y,0,)和抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的关系,(1),P,在抛物线内(含焦点区域),2,px,0,.,3.焦半径:抛物线上的点,P,(,x,0,y,0,)与焦点,F,的距离称作焦半径,记作,r,=|,PF,|.,(1),y,2,=2,px,(,p,0),r,=,x,0,+,;,(2),y,2,=-2,px,(,p,0),r,=-,x,0,+,;,(3),x,2,=2,py,(,p,0),r,=,y,0,+,;,(4),x,2,=-2,py,(,p,0),r,=-,y,0,+,.,考向抛物线几何性质的应用,考向突破,例3(2015陕西,3,5分)已知抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的准线经过点(-1,1),则该抛,物线焦点坐标为,(),A.(-1,0)B.(1,0),C.(0,-1)D.(0,1),解析抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的准线方程为,x,=-,由题设知-,=-1,即,=1,所以,焦点坐标为(1,0).故选B.,答案B,例4(2019陕西西安陕师大附中等八校联考,15)已知,F,是抛物线,C,:,y,=2,x,2,的,焦点,点,P,(,x,y,)在抛物线,C,上,且,x,=1,则|,PF,|=,.,解析由,y,=2,x,2,得,x,2,=,y,则,p,=,.由,x,=1得,y,=2,所以|,PF,|=2+,=2+,=,.,答案,考向基础,1.,AB,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的焦点弦,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,(1),x,1,x,2,=,;,(2),y,1,y,2,=-,p,2,;,(3),弦长|,AB,|=,x,1,+,x,2,+,p,x,1,+,x,2,2,=,p,当且仅当,x,1,=,x,2,时,弦长|,AB,|最短,最小,长度为2,p,;,(4)弦长,|,AB,|=,(,为,AB,的倾斜角).,(5)若直线,AB,的倾斜角为,且,A,位于,x,轴上方,B,位于,x,轴下方,则,|,AF,|=,考点三直线与抛物线的位置关系,|,BF,|=,;,(6),S,AOB,=,(其中,为直线,AB,的倾斜角);,(7),+,=,;,(8)以,AB,为直径的圆与抛物线的,准线相切,;,(9)以,AF,(或,BF,)为直径的圆与,y,轴相切,.,2.,AB,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的弦,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦中点,M,(,x,0,y,0,),设直线,AB,的,斜率,k,存在,且,k,0.,(1)弦长|,AB,|=|,x,1,-,x,2,|,=|,y,1,-,y,2,|,;,(2),k,=,;,(3)直线,AB,的方程为,y,-,y,0,=,(,x,-,x,0,);,(4)弦,AB,的垂直平分线方程为,y,-,y,0,=-,(,x,-,x,0,).,【知识拓展】,1.如图所示,AB,是抛物线,x,2,=2,py,(,p,0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过,A,B,作抛物线的切线,交于点,P,连接,PF,则有以下结论:,(1)点,P,的轨迹是一条直线,为抛物线的准线,l,:,y,=-,;,(2)两切线互相垂直,即,PA,PB,;,(3),PF,AB,;,(4)点,P,的坐标为,.,2.非焦点弦性质,(1)已知直线,l,与抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)交于,A,、,B,两点,若,OA,OB,则直线,l,过定,点(2,p,0),反之亦成立;,(2)已知,M,(,x,0,y,0,)是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)上任意一点,点,N,(,a,0)是抛物线的对称,轴上一点,则|,MN,|,min,=,考向一直线与抛物线相交的弦长问题,考向突破,例5(2019河南商丘九校联考)已知,AB,是抛物线,y,2,=2,x,的一条焦点弦,|,AB,|=,4,则,AB,中点,C,的横坐标是,(),A.2B.,C.,D.,解析设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),C,的横坐标为,x,0,则,x,0,=,因为,AB,是抛物线,y,2,=2,x,的一条焦点弦,所以|,AB,|=,x,1,+,x,2,+,p,=,x,1,+,x,2,+1=4,所以,x,1,+,x,2,=3,故,x,0,=,=,.故选B.,答案B,考向二与抛物线有关的弦中点问题,例6(2019黑龙江哈三中期中,14)已知点,P,(2,1),若抛物线,y,2,=4,x,的一条弦,AB,的中点恰好是点,P,则弦,AB,所在的直线方程为,.,解析易知直线,AB,的斜率存在且不为0.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦,AB,所在的直线方程为,y,-1=,k,(,x,-2)(,k,0),即,y,=,kx,+1-2,k,(,k,0),联立,整理得,k,2,x,2,+2,k,(1-2,k,)-4,x,+(1-2,k,),2,=0,所以,x,1,+,x,2,=-,因为弦,AB,的中点为点,P,(2,1),所以-,=4,解得,k,=2,所以弦,AB,所在的直线方程为,y,=2,x,-3,即2,x,-,y,-3=0.,答案2,x,-,y,-3=0,一题多解易知直线,AB,的斜率存在且不为0.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦,AB,所在的直线方程为,y,-1=,k,(,x,-2)(,k,0),即,y,=,kx,+1-2,k,(,k,0),由已知可得,两式相减可得,-,=4(,x,1,-,x,2,),则,k,=,=,又知弦,AB,的中点是点,P,y,1,+,y,2,=2,k,=,=2,所求直线的方程为,y,=2,x,-3,即2,x,-,y,-3=0.,方法1,求抛物线的标准方程的方法,1.,定义法,:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨迹,类型,从而确定,p,的值,得到抛物线的标准方程.,2.,待定系数法,:根据条件设出标准方程,再确定,p,的值,这里应注意抛物线的,标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在,x,轴上的,设为,y,2,=,ax,(,a,0),焦点在,y,轴上的,设为,x,2,=,ay,(,a,0),.,方法技巧,例1(2019湖南衡阳二模,15)已知抛物线,C,:,y,2,=2,px,(,p,0)的焦点为,F,过点,(-1,0)的直线与,C,交于,A,B,两点,若4|,FA,|+|,FB,|的最小值为19,则抛物线,C,的标准,方程为,.,解析设直线,AB,的方程为,y,=,k,(,x,+1)(,k,0),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)(,x,1,0,x,2,0),由,得,k,2,x,2,+2,k,2,x,+,k,2,=2,px,即,k,2,x,2,+(2,k,2,-2,p,),x,+,k,2,=0,x,1,x,2,=1.由抛物线的,定义知|,AF,|=,x,1,+,|,BF,|=,x,2,+,4|,FA,|+|,FB,|=4,+,x,2,+,=4,x,1,+,x,2,+,p,2,+,p,=4+,p,当且仅当4,x,1,=,x,2,时取等号,此时4|,FA,|+|,FB,|的最小值为4+,p,4+,p,=19,解得,p,=6,抛物线,C,的方程为,y,2,=12,x,.,答案,y,2,=12,x,方法2,抛物线定义的应用策略,抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解决,问题,应灵活地进行,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转,化,.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线焦点,弦有关问题的有效途径.,例2(2017课标全国,12,5分)过抛物线,C,:,y,2,=4,x,的焦点,F,且斜率为,的直,线交,C,于点,M,(,M,在,x,轴的上方),l,为,C,的准线,点,N,在,l,上且,MN,l,则,M,到直线,NF,的距离为,(),A.,B.2,C.2,D.3,解析如图,因为直线,MF,的斜率为,所以直线,MF,的倾斜角为60,则,FMN,=60,.,由抛物线的定义得|,MF,|=|,MN,|,所以,MNF,为等边三角形.,过,F,作,FH,MN,垂足为,H,.,易知,F,(1,0),l,的方程为,x,=-1,所以|,OF,|=1,|,NH,|=2,所以|,MF,|=,+2,即|,MF,|=4,所以,M,到直线,NF,的距离,d,=|,FH,|=|,MF,|sin 60,=4,=2,.故选C.,答案C,方法3,与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法,1.直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法有:把直,线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,则:(1)若方程的判别,式,0,则直线与抛物线相交;(2)若方程的判别式,=0,则直线与抛物线相,切;(3)若方程的判别式,0),其焦点到准,线的距离为2,直线,l,与抛物线,C,交于,A,B,两点,过,A,B,分别作抛物线,C,的切线,l,1,l,2,设,l,1,与,l,2,交于点,M,.,(1)求抛物线,C,的方程;,(2)若,l,1,l,2,求,MAB,面积的最小值.,解析(1)焦点到准线的距离为2,即,p,=2,所以抛物线,C,的方程为,x,2,=4,y,.,(2分),(2)抛物线的方程为,x,2,=4,y,即,y,=,x,2,所以,y,=,x,.,(3分),设,A,B,则,l,1,:,y,-,=,(,x,-,x,1,),l,2,:,y,-,=,(,x,-,x,2,),由,l,1,l,2,得,=-1,即,x,1,x,2,=-4.,(5分),设直线,l,的方程为,y,=,kx,+,m,由,得,x,2,-4,kx,-4,m,=0,所以,=16,k,2,+16,m,0,x,1,+,x,2,=4,k,x,1,x,2,=-4,m,=-4,所以,m,=1,(7分),所以,l,:,y,=,kx,+1.,由,得,所以,M,(2,k,-1).,(8分),点,M,到直线,l,的距离,d,=,=,(9分),|,AB,|=,=4(1+,k,2,),(10分),所以,S,MAB,=,
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