定积分的换元法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,为去掉根号,令,则,当,x,从0连续地增加到4时，,t,相应地从1连续地增加到3,于是,尝试一下直接换元求定积分,将上例一般化就得到定积分的换元积分公式,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,计算,解1,由定积分的几何意义,等于圆周的第一象限部分的面积,解2,故,o,例2,令,解4,令,仍可得到上述结果,解3,解,令,例3,计算,定积分的换元积分公式也可以反过来使用,为方便计,将换元公式的左、右两边对调,同时把,x,换成,t,，,t,换成,x,这说明可用,引入新变量,但须,注意如明确引入新变量，则必须换限,如没有明确引入新变量，而只是把,整体视为新变量，则不必换限,注,例4,计算,解,例5,计算,解,原式,例6,计算,解一,令,原式,解二,接解一,对,令,则,证,即：奇函数在对称区间上的积分等于0,偶函数在对称区间上的积分等于对称的,部分区间上积分的两倍,由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的,例8,计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,（1）设,（2）设,证,另证,将上式改写为,奇,函数,例10 设,f,(,x,),是以,L,为周期的连续函数，证明,证明,与,a,的值无关,例11 设,f,(,x,),连续，常数,a,0,证明,证明,比较等式两边的被积函数知，,例12 设,f,(,x,),连续,解,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,