任意角三角函数概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,文化基础教研室数学教研组,林卫,民,制作,任意角三角函数概念,一、背景知识,任意角的三角函数,是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；1416世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：,正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线,、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。,二、预备知识,在初中阶段，我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下：,A,B,C,c,a,b,正弦函数：,余弦函数：,正切函数：,余切函数：,此,定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，所以对于任意角的三角函数的定义也要作相应的拓广。,三、任意角三角函数的定义,为了研究任意角的三角函数，我们先在平面上建立一个直角坐标系,OXY,将,任意角,a,的,顶点放在坐标原点，始,边放,在,x,轴,的正半轴上，设,OP,为它的终边，如下图：,O,a,a,在角的终边,上任取一个不与顶点重合的点,P(x,y),这点到原点的距离为,r,.,P(x,y),r,正 弦：,余 弦：,正 切：,余 切：,正 割：,余 割：,y,x,X,Y,(,P,点的纵坐标,y,比,P,点到原点的距离,r,),(,P,点的横坐标,x,比,P,点到原点的距离,r,),(,P,点的纵坐标,y,比,P,点的横坐标,x,),(,P,点的横坐标,x,比,P,点的纵坐标,y,),(,P,点,到原点的距离,r,比,P,点的横坐标,x,),(,P,点到原点的距离,r,比,P,点的纵坐标,y,),当角,a,是其它象限角时，它的三角函数的定义也是一样。,X,Y,O,P(x,y),X,Y,O,P(x,y),X,Y,O,P(x,y),正 弦：,余 弦：,正 切：,余 切：,正 割：,余 割：,没有意义；,注意：,X,Y,P(x,0),X,O,O,P(x,0),Y,没有意义。,X,Y,O,P(0,y),X,Y,O,P(0,y),除上述情况无意义外，对于每一个确定的角,a，,上面六种比值都是唯一确定的，所以,sin,a,、,cos,a,、,tan,a,、,cot,a,、,sec,a,、,scs,a,都是,角,a,的函数。,我们把角,a,的,正弦、余弦、正切、余切、正割、余割,分别叫做角,a,的,正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数,，统称为,三角函数,。,四、讲解例题,例,1、,已知角,a,终边上一点的坐标为,P(-4,3),，,求角,a,的各个三角函数值。,分析：,从,三角函数的定义可知，只要知道该角终边上的任意一点,P,的坐标,(,x,y),，,则可求出该点到原点之间的距离,r,，,然后由,x,y,r,之间的比值就可以得到该角的各个三角函数值。,X,Y,O,a,P(-4,3),r,解：,如右图，因为,x=-4,y=3,所以,根据三角函数的定义，可得,例,2、,分析：,此题只给出角的,大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先,根据角的大小确定终边的位置,，并,在终边上取任意一点并确定其坐标,，再,根据三角函数的定义求解,。,X,Y,O,解：,根据三角函数的定义得：,P（1，-1）,五、课堂练习,1、,已知角,a,终边上的一点,P,的坐标如下，求角,a,的各个三角函数值。,（1）,P（1，-7）,（2）,P（-5，2）,（3）,P（1，0）,2、,已知角,a,的值如下，求角,a,的各个三角函数值。,六、课外作业,1、,已知角,a,的终边上的一点,P,的坐标为（-3，2），求角,a,的,各个三角函数值。,2、,已知角,a,的值如下，求角,a,的各个三角函数值。,放学了！,下节课再见！,