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,*,*,4.1.2,圆的一般方程,自,学,导,引,1.,掌握圆的一般方程及其特点,.,2.,会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小,.,3.,能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,.,4.,初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题,.,课,前,热,身,1.,方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0.,(1),当,_,时,方程表示一个点,该点的坐标为,_,;,(2),当,_,时,方程不表示任何图形,;,(3),当,_,时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为,_,半径等于,_,上述方程称为圆的一般式方程,.,D,2,+E,2,-4F=0,D,2,+E,2,-4F0,2.,比较二元二次方程,Ax,2,+Bxy+Cy,2,+Dx+Ey+F=0,和圆的一般方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论,:,当二元二次方程具条件,:,(1)x,2,和,y,2,的系数相同,且不等于,0,即,_;,(2),没有,xy,项,即,_;,(3)_,时,它才表示圆,.,A=C0,B=0,D,2,+E,2,-4AF0,名,师,讲,解,1.,圆的标准方程,:(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,明确了圆心,C(a,b,),半径,r,把标准方程展开就可得圆的一般方程,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,(,其中,D=-2a,E=-2b,F=a,2,+b,2,-r,2,).,仅当,D,2,+E,2,-4F0,时,方程才表示一个圆,.,2.,求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单,.,知圆心和半径用标准形式简单,.,题型一,圆的方程的判断,例,1:,判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程,.,(1)x,2,+y,2,+2x+1=0;,(2)x,2,+y,2,+2ay-1=0;,(3)x,2,+y,2,+20 x+121=0;,(4)x,2,+y,2,+2ax=0.,分析,:,先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断,.,典,例,剖,析,解,:(1),原方程可化为,(x+1),2,+y,2,=0,它表示点,(-1,0),不表示圆,.,(2),原方程可化为,x,2,+(y+a),2,=a,2,+1,它表示圆心在,(0,-a),半径为 的圆,标准方程为,x,2,+(y+a),2,=,(3),原方程可化为,:(x+10),2,+y,2,=-210,m-2.,错因分析,:,本题错误根本原因没理解圆的一般式方程的定义,.,二元二次方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,表示圆时,应有,D,2,+E,2,-4F0,这个条件,错解中丢掉了这个隐含条件,.,正解,:,点,P(m,2),在圆外,基础强化,1.,若方程,x,2,+y,2,-x+y+m=0,表示圆,则实数,m,的取值范围是,(),答案,:A,2.,方程,Ax,2,+Cy,2,+Dx+Ey+F=0,表示的曲线为圆,则有,(),A.A=C0,B.D,2,+E,2,-4AF0,C.A=C0,且,D,2,+E,2,-4AF0,D.A=C0,且,D,2,+E,2,-4AF,0,答案,:C,3.,圆,x,2,+y,2,-2x+6y+8=0,的周长等于,(),A.B.2,C.D.4,解析,:,将圆的方程配方得,(x-1),2,+(y+3),2,=2,圆的半径,周长为,2r=,答案,:C,4.,过点,P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4),三点的圆的圆心坐标是,(),A.(5,1)B.(4,-1),C.(5,-1)D.(-5,-1),解析,:,圆心到,P,Q,R,的距离相等,代入选项的坐标,知,C,成立,.,答案,:C,5.,圆,(x+2),2,+y,2,=5,关于原点对称的圆的方程为,(),A.(x-2),2,+y,2,=5B.x,2,+(y-2),2,=5,C.(x+2),2,+(y+2),2,=5D.x,2,+(y+2),2,=5,解析,:,点,(,x,y,),关于原点,(0,0),的对称点是,(-,x,-y,),因此圆心,(-2,0),关于原点,(0,0),对称点为,(2,0),半径不变,所以方程为,(x-2),2,+y,2,=5.,答案,:A,6.,圆心为,(2,-3),一条直径的两个端点分别落在,x,轴和,y,轴上的圆的方程为,(),A.(x+2),2,+(y+3),2,=52,B.(x-2),2,+(y+3),2,=,C.(x-2),2,+(y+3),2,=13,D.(x-2),2,+(y-3),2,=,解析,:,设一条直径的端点坐标分别为,(x,0,0),(0,y,0,).,由题意得,=-3,x,0,=4,y,0,=-6,圆的半径为,所求圆的方程为,(x-2),2,+(y+3),2,=13.,答案,:C,7,.,已知圆,x,2,-4x-4+y,2,=0,的圆心是,P,则点,P,到直线,x-y-1=0,的距离是,_,.,解析,:,已知圆的圆心,P,坐标为,(2,0),P,到直线,x-y-1=0,的距离为,8.,点,A(1,0),在圆,x,2,+y,2,-2ax+a,2,+3a-3=0,上,则,a,的值为,_,.,-2,能力提升,9.,圆心在直线,2x-y-7=0,上的圆,C,与,y,轴交于,A(0,-4),B(0,-2),两点,求圆,C,的方程,.,解,:,设圆,C,的方程为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,则圆心 在直线上,.,由解得,D=-4,E=6,F=8.,圆的方程为,x,2,+y,2,-4x+6y+8=0.,10.,已知圆,C:x,2,+y,2,-4x-14y+45=0,及点,Q(-2,3),(1),若,P(m,m+1),在圆,C,上,求线段,PQ,的长及直线,PQ,的斜率,;,(2),若,P,为圆,C,上任意一点,求,|PQ|,的最大值和最小值,.,解,:(1),点,P,在圆,C,上代入得,m,2,+(m+1),2,-4m-14(m+1)+45=0,解得,m=4.,点,P,为,(4,5),故,|PQ|=,(2),由题意知,|PQ|,取得最大值或最小值时,P,点为过,Q,与圆心,C,的直线与圆,C,的两个交点,.,易知,:,|PQ|,最大值为,|QC|+R=(R,为圆,C,半径,).,最小值为,|QC|-R=,11,.,若圆,x,2,+y,2,-2x-4y=0,的圆心到直线,x-y+a,=0,的距离为 则,a,的值为,(),A.-2,或,2B.,C.2,或,0D.-2,或,0,解析,:,已知圆的方程为,(x-1),2,+(y-2),2,=5,圆心,C(1,2),由题意得,|a-1|=1,a=2,或,0.,答案,:C,12,.,经过圆,x,2,+2x+y,2,=0,的圆心,C,且与直线,x+y,=0,垂直的直线方程是,(),A.x+y+1=0B.x+y-1=0,C.x-y+1=0D.x-y-1=0,解析,:,由题知圆心,C(-1,0),斜率,k=1,故所求的直线方程为,y=x+1,即,x-y+1=0.,答案,:C,
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