数据拟合的非线性模型课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数据拟合的非线性模型,多项式拟合的正交化方法,超定方程组最小二乘,解,温度数据的平滑处理,数值分析,18,数据拟合的非线性模型数值分析 18,数据拟合的非线性模型,求拟合函数,f,(,x,c,0,c,1,c,n,),满足,观测数据,2/16,例1,.已知人口统计数据,利用最小二乘法求指数拟合,y=c e,a x,x,x,1,x,2,x,m,f,y,1,y,2,y,m,年 1991 1992 1993 1994 1995 1996,数量 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24,数据拟合的非线性模型求拟合函数 f(x,c0,c1,指数函数拟合人口统计数据(单位：亿),(1),计算对数值,y,k,=,ln,N,k,(,k=,1,2,6),(2),列出未知数,a,、,b,的超定方程组,a,+,b t,k,=y,k,(,k=,1，2，6),(3),求超定方程组的最小二乘解,得,N=e,a+bx,并预测,N,(2000),N,(2008),N2000=12.7971,N2008=13.9783,设,N,=,e,a+bt,ln,N=a+bt,令,y=,ln,N,有,y,(,t,),=a+bt,t 1991 1992 1993 1994 1995 1996,ln,N,2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.50,3/16,指数函数拟合人口统计数据(单位：亿)(1)计算对数值 yk,例2,.,利用极坐标观察值确定慧星轨道,其中,，,p,为参数,，,e,为偏心率,令,k,=1/,r,r,2.70 2.00 1.61 1.20 1.02,48,67,83,108,126,k,0.3704 0.5000 0.6211 0.8333 0.9804,0.8378 1.1694 1.4486 1.8850 2.1991,线性方程组,(,j=,1,2,3,4,5),p=,?,e=,?,4/16,例2.利用极坐标观察值确定慧星轨道其中，p 为参数，e为偏心,r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02;,fai=48 67 83 108 126*pi/180;,n=length(r);b=ones(n,1);,G=1./r cos(fai);,X=Gb;,p=X(1);e=X(2);,p=,1.4521,e,=0.7027,残差平方和,:0.0022,5/16,fa=pi/4:.1:3.5*pi/2;,ro=p./(1-e*cos(fa);,polar(fai,r,ro),hold on,polar(fa,ro),R=r-p./(1-e*cos(fai),R=sum(R.2),r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02;,例,3.,温度数据的拟合问题,:,中午,1:00,到第二天中午,12:00,温度记录数据如下,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58,58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,用最小二乘法求拟合函数,f,(,x,)=,E,+,A,cos(,C x,)+,B,sin(,D x,),E=,?,A=,？,B=,?,C=,?,D=,?,6/16,例3.温度数据的拟合问题:中午1:00到第二天中午12:0,定义,设,j,(,x,)(,j=,0,1,n,),是多项式系列,是一点列,多项式,i,(,x,),j,(,x,),在该,点列上的值分别为,则称,k,(,x,)(,k=,0,1,n,),为点列,上的,正交多项式系.,(,j,i,),如果,i,=,i,(,x,1,),i,(,x,2,),i,(,x,m,),T,j,=,j,(,x,1,),j,(,x,2,),j,(,x,m,),T,7/16,定义 设 j(x)(j=0,1,n)是多项式,p,0,(,x,)=1,p,j,(,x,)=,x p,j-,1,(,x,),(,j=,1,2,n,),(,j=,2,3,n,),8/16,给定数据表,x,x,1,x,2,x,m,f,(,x,),y,1,y,2,y,m,超定方程组,:,正交多项式系,:,组成拟合函数,9/16,给定数据表 x x1 x2,正规方程,:,由正交性得,10/16,正规方程:由正交性得10/16,超定方程组最小二乘解,X,*,的几何意义,11/16,例,向量组,平面,正规方程,超定方程组最小二乘解 X*的几何意义11/16例向量组平面,Q,列正交矩阵,;,R,单位上三角矩阵,矩阵的正交三角分解,:,G=QR,12/16,矩阵的,LDL,T,分,解,DL,T,X=L,-1,b,A=LDL,T,超定方程组,AX=b,记,L,T,X=D,-1,L,-1,b,X=,(,L,T,),-1,D,-1,L,-1,b,Q列正交矩阵;R单位上三角矩阵矩阵的正交三角分解:G,矩阵,G,的,QR,(正交三角)分解算法,G=,(,g,ij,),m,n,m,n,将矩阵按列分块，记为,G=,g,1,g,2,g,n,分解算法,q,1,=,g,1,q,2,=,g,2,r,12,q,1,其中,r,12,=(,g,2,，,q,1,)/(,q,1,，,q,1,),n,其中,13/16,矩阵G的QR(正交三角)分解算法 G=(gij)m,G,=,g,1,g,2,g,n,=,q,1,(,r,12,q,1,+,q,2,)(,r,1,n,q,1,+,r,n-,1,n,q,n-,1,+,q,n,),G,=,q,1,q,2,q,n,R,G=,QR,g,1,=,q,1,g,2,=,r,12,q,1,+,q,2,记,Q=,q,1,q,2,q,n,其中,14/16,G=g1 g2 gn g1=q,多项式拟合用于数据平滑处理,五点抛物线拟合公式,设拟合函数为:,P,(,t,)=,a,0,+,a,1,t+a,2,t,2,a,0,=,y,k,3(,y,k-2,4,y,k-1,+6,y,k,4,y,k+1,+,y,k+2,)/35,y,k,=,a,0,15/16,多项式拟合用于数据平滑处理五点抛物线拟合公式设拟合函数为:,温度数据的平滑处理,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58,58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,原始数据,数据平滑后,五点抛物线拟合公式处理数据,16/16,温度数据的平滑处理66,66,65,64,63,6,