7.3曲面及其方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节,曲面及其方程,在平面上,:,F,(,x,y,)=0,或,y,=,f,(,x,),平面曲线,1-1,一、曲面方程的概念,求到两定点,A,(1,2,3),和,B,(2,-1,4),等距离的点的,化简得,即,说明,:,动点轨迹为线段,AB,的,垂直平分面,.,引例,:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,满足此方程的坐标点都在此平面上,.,解,:,设轨迹上的动点为,轨迹,方程,.,定义,1.,如果曲面,S,与方程,F,(,x, y, z,) = 0,有下述关系,:,(1),曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程,;,则,F,(,x, y, z,) = 0,叫做,曲面,S,的方程,曲面,S,叫做,方程,F,(,x, y, z,) = 0,的图形,.,两个基本问题,:,(,1),已知一曲面作为点的几何轨迹时,(,2),满足此方程的坐标点都在此平面上,求,曲面方程,.,(,2),已知方程时,研究它所表示的几何形状,(,必要时需作图,).,故所求,方程为,例,1.,求动点到定点,方程,.,特别,当,M,0,在原点时,球面方程为,解,:,设轨迹上动点为,即,依,题意,距离为,R,的轨迹,表示上,(,下,),球面,.,例,2.,研究方程,解,:,配方得,此方程表示,:,说明,:,如下形式的三元二次方程,(,A,0 ),都可通过配方研究它的图形,.,其图形可能是,的曲面,.,表示,怎样,半径为,的球面,.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,二、柱面,引例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解,:,在,xoy,面上,，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线,所形成的曲面,称为,圆,故在空间,过此点作,柱面,.,对任意,z,平行,z,轴的直线,l ,表示,圆柱面,在圆,C,上,任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行,定直线,并沿,定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xoy,面上的抛物线,.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(,且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,例,:,分析方程,表示怎样的曲面,.,答,:,在空间直角坐标系中表示,:,y,轴的柱面,.,以,xOz,上的抛物线 为准线,而母线平行于,称为,抛物柱面,.,一般柱面方程的特征,柱面,柱面,平行于,x,轴,;,平行于,y,轴,;,平行于,z,轴,;,准线,xoz,面上的曲线,l,3.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l,1.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l,2.,母线,定义,2,.,一条,平面曲线,三、旋转曲面,绕其平面上,一条定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴,.,例如,:,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的,方程,:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yoz,面上曲线,C,:,则有,则有,该点转到,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,给定,yoz,面上曲线,C,:,绕,z,轴旋转所成,曲面,的,方程,:,1.,保持,z,不变,;,2.,将方程中另一个变量,y,换成,小结：,例,3.,试建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例,4.,(1),求坐标面,xoz,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,.,解,:,绕,x,轴旋转,绕,z,轴旋转,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,又分别称为,双叶双曲面,和,单叶双曲面和,.,旋转椭球面,旋转抛物面,(2),(3),内容小结,1.,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕,z,轴的旋转曲面,:,柱面,如,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面,.,又,如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等,.,斜率为,1,的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴的直线,平行于,yoz,面,的平面,圆心在,(0,0),半径为,3,的圆,以,z,轴为中心轴的,圆柱面,平行于,z,轴的平面,思考与练习,1.,指出下列方程的图形,:,