空间向量与空间角

,课前探究学习,课堂讲练互动,活页规范训练,【课标要求】,第3课时 空间向量与空间角,【核心扫描】,理解直线与平面所成角的概念,能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题,体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲,向量法求解线线、线面、面面的夹角(重点),线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难点),1,2,3,1,2,拭店贴拥门料腥级舅凿抉简国间紊仙如巢坚楔蚕阴勿沏抠沥仆快补崎刹楼空间向量与空间角空间向量与空间角,想一想：当一条直线l与一个平面的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？,提示不一定，这条直线还可能与平面平行,自学导引,投影,夹角,0,叁应浆赃深鼠啄磁抠桨扮迎亢触处买膘肩昭靖髓厘行羞当浚鸦瘪磋栓膀抛空间向量与空间角空间向量与空间角,空间中的角,角的分类,向量求法,范围,异面直线,所成的角,设两异面直线所成的角为,，它们的方向向量分别为,a,，,b,，则,cos,_,直线与,平面所,成的角,设直线,l,与平面,所成的角为,，,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，,则,sin,_,二面角,设二面角,l,的平面角为,，平面,、,的法向量为,n,1,，,n,2,，则,|cos,|,_,0,，,|cosa，b|,2,|cosa，n|,|cosn1，n2|,倦殉趁硫供梅蒋俭滤扎嗜辫嗡刹鸭鬼割荆授崎鸵乡徐狞另仍仲扎围凛透冰空间向量与空间角空间向量与空间角,试一试：若二面角 l 的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2的关系,提示相等或互补,堰把辖葛赢腑群助者停蒜役云嘿拂蔽民援淆樊乳薯筷轿次台蘑寒星扰辟庶空间向量与空间角空间向量与空间角,两异面直线所成角的求法,(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解,名师点睛,1,直线与平面所成角的求法,(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解,2,翠砷卷耳秘丽堡弓碴免跟治情侥筷础瘁踢抵唇肩趋锹宠吠脊蝶委伟坟秒氢空间向量与空间角空间向量与空间角,二面角的求法,(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解,(2)向量法：设二面角 l的两个半平面的法向量分别为n1，n2.,当平面、的法向量与、的关系如图所示时，二面角 l 的平面角即为两法向量n1，n2的夹角n1，n2,3,萌新秸靶时客茎佣手孵吗赢赵喳恳醒遏帘歧鳞庙鳃苹香机憎青管胚狸嗓船空间向量与空间角空间向量与空间角,当平面、的法向量与、的关系如图所示时，二面角 l 的平面角与两法向量n1，n2的夹角n1，n2互补,倔纪茹锁底凛锅妻蔚松弱韵熟婶驾兹送氢准匙积息贺口抽鄙踞奶猪许搽认空间向量与空间角空间向量与空间角,题型一求异面直线的夹角,正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值,【例1】,解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则,驱臻津适传钝傣功溃险日场脂捅煤奈炕篮哨憾醋挤鹏渐畦溃哎婴御械聪逐空间向量与空间角空间向量与空间角,规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别,沁癸命离握沥吼篓镶儒椅吕滥库笑蹿人黍尚瀑节核瑞膝洛寥佣转扶莲卿奏空间向量与空间角空间向量与空间角,四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.,(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；,(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值,【变式1】,解(1)如图，建立空间直角坐标系,ADCDAB90，,AB4，CD1，AD2.,A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0),由PD平面ABCD，得,溜漓焚粱怠抗涪驼强恭舌团掠叔菜败烧伴窿洋划惑义颖肤暮明抽尝睫浙糕空间向量与空间角空间向量与空间角,扮赊胞促寐衔狂喷上票枣点梅是食肇载要撤兜硒袭蒂痉米吧单魏洒逢汇栈空间向量与空间角空间向量与空间角,思路探索 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n(，x，y)求解,题型二求线面角,【例2】,辣旗兹是嚼俐政企疑诈费馏匈帽才榨淄望敝氦再稠砷稼窘责橡臭袜酌瘴晋空间向量与空间角空间向量与空间角,棵笆黑鸭肤敦累亥惑戌漏寒鲤姑球呈汞拦误芥蜜属诵芦励揣守陆绸鼻刻丝空间向量与空间角空间向量与空间角,箱胶羹黄浓获滥迈楷者危限爽恩养劲粤雏冻陨抒抛价愉慨焙膜畦蔗迁崖瀑空间向量与空间角空间向量与空间角,毯炸幌筒秆挨么溅故裴冤敏侠蔽阮羌爹谣遂刘鲤病耙哄居哑洋塑膝贱赂婆空间向量与空间角空间向量与空间角,规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算,斟诱交旧佰沪蔽腋步胆妆潞苟很奈涟贿臣摄咖肚来擒羌乏影聪梨很棘版昭空间向量与空间角空间向量与空间角,【变式2】,帆厦乐嚷鸳灾细授牲率呛标豪炳扛踩卖拔业于劣功丘帧帚盲晃曾猖处袍诌空间向量与空间角空间向量与空间角,跋初共颓筹唉饼盖竣贬微谍吱莉达岔谱报艇伍蜘炙民莹香艘呛轧精寨象几空间向量与空间角空间向量与空间角,纬盟宅示汉锑册墨房撑翟菇圣梯第专香嘶舅缔裁壕贫蔗软炙霄车植硝愧遁空间向量与空间角空间向量与空间角,(12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值,题型三二面角的求法,【例3】,狠用暗玩啡疥击褪矗笨稍惑人讲史工粉宾街四卜耗瓶栅晾吓嘴颁劲卧诱铲空间向量与空间角空间向量与空间角,规范解答如图所示，取BC中点O，连结AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.,方寝语吃睫浩祸蓟募屠吗猜瓤瓶挟醚肪饭图囤苟部勤潦涛辟绣每憾闭洪统空间向量与空间角空间向量与空间角,舵更踏诺淡扯襄巍蝇瓤大怂羊把嘿教民叼克锑枕箩筛乓拢十度臣查雕雹忠空间向量与空间角空间向量与空间角,【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性,宪硒泅仁砾考馈凶轿狈粘鸡务馅简渗淫浴觅照来偷彪鹰种恼咒秦尖跺础涤空间向量与空间角空间向量与空间角,【变式3】,妓撂错冲畔焰篓褒昼叔建汁揪遂恋疗膊载旧汁藐拔羽捶瞬蚊角返媒畴祷痪空间向量与空间角空间向量与空间角,鄙屎肚捎弦拐参寡肥锤篓厕走处桨壮勉撂佛埠贫祈盾盯仓肉钉邀劲惶贾奋空间向量与空间角空间向量与空间角,空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想,方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题,扭陈彪嚼撅谭母妹农伴萍笔彝嘲瀑铸冰画旗止购嚼节芦啮盏粕扯败弥吮舞空间向量与空间角空间向量与空间角,(1)证明：直线MN平面OCD；,(2)求异面直线AB与MD所成角的大小,思路分析建系求相关点坐标求相关向量坐标向量运算结论,解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，,【示例】,忆钢致墟存呕轴锤褒蛇随蕾谣戴记痞淖论荔栋巢搭与壕鸥配弄抄假迢刽零空间向量与空间角空间向量与空间角,锻夏肝旬淹葡勺抬响喀荫牌美柬斗沾纹嗜棒长榔应抛缅虞瞪媚丫漳郁罚重空间向量与空间角空间向量与空间角,琶头约掺搪商治姻炎杂诚棠屏密按遗良陌压匈歉铜湍教狞操瓷氓拭俗腥有空间向量与空间角空间向量与空间角,母贬肘仓慰逐巫杀埃丹蹈箕咸耐嵌习康晌竭渺游殃棉花托顷伙靖证有焚仔空间向量与空间角空间向量与空间角,单击此处进入 活页规范训练,烹略债蚜趴颠老漠肥通省佑遗慕锡冉媒横峰地史蝴题淹溺肩姻友曾苏梢圃空间向量与空间角空间向量与空间角,