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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4,均值不等式,如果,a,，,b,R,，,那么,a,2,+,b,2,2,ab,（当且仅当,a,=,b,时取“,=”,）,证明：,1,指出定理适用范围：,2,强调取“,=”,的条件：,定理：,如果,a,b,R,+,，那么,（当且仅当,a,=,b,时，式中等号成立）,证明：,即：,当且仅当,a,=,b,时,均值定理：,注意：,1,适用的范围：,a,b,为非负数,.,2,语言表述：,两个非负数,的算术平均数,不小于,它们的几何平均数。,称,为,a,，,b,的算术平均数，,3.,我们把不等式,(,a,0,b,0),称为基本不等式,称,的几何平均数。,为,a,，,b,把,看做两个,正数,a,，,b,的等差中项，,看做,正数,a,，,b,的等比中项，,那么上面不等式可以叙述为：,两个正数的等差中项,不小于,它们的等比中项。,还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢,?,几何直观解释：,令正数,a,，,b,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和,的两条线段，然后比较这两条线段的长。,具体作图如下：,（,1,）作线段,AB,=,a,+,b,，使,AD,=,a,，,DB,=,b,（,2,）以,AB,为直径作半圆,O,；,（,3,）过,D,点作,CD,AB,于,D,，交半圆于点,C,（,4,）连接,AC,，,BC,，,CA,，则,当,a,b,时，,OC,CD,，即,当,a,=,b,时，,OC,=,CD,，即,例,1,已知,ab,0,，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。,证明：因为,ab,0,，所以 ，,根据均值不等式得,即,当且仅当 时，即,a,2,=,b,2,时式中等号成立，,因为,ab,0,，即,a,，,b,同号，所以式中等号成立的条件是,a,=,b,.,例,2,（,1,）一个矩形的面积为,100,m,2,，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？,（,2,）已知矩形的周长是,36,m,，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？,分析：在（,1,）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的,2,倍的最小值；,在（,2,）中，矩形的长与宽的和的,2,倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。,解：（,1,）设矩形的长、宽分别为,x,(,m,),，,y,(,m,),，依题意有,xy,=100(,m,2,),，,因为,x,0,，,y,0,，所以，,因此，即,2(,x,+,y,)40,。,当且仅当,x,=,y,时，式中等号成立，,此时,x,=,y,=10,。,因此，当这个矩形的长与宽都是,10,m,时，它的周长最短，最短周长是,40,m,.,（,2,）设矩形的长、宽分别为,x,(,m,),，,y,(,m,),，,依题意有,2(,x,+,y,)=36,，即,x,+,y,=18,，,因为,x,0,，,y,0,，所以，,因此,将这个正值不等式的两边平方，得,xy,81,当且仅当,x,=,y,时，式中等号成立，,此时,x,=,y,=9,，,因此，当这个矩形的长与宽都是,9,m,时，它的面积最大，最大值是,81,m,2,。,规律：,两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；,两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。,例,3,求函数 的最大值，及此时,x,的值。,解： ，因为,x,0,，,所以,得,因此,f,(,x,),当且仅当 ，即 时，式中等号成立。,由于,x,0,，所以 ，式中等号成立，,因此 ，此时 。,下面几道题的解答可能,有错,，如果,错了,，那么,错,在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时,x,的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“,正数,”这个条件,已知函数，,求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“,定值,”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意,“,相等,”,的条件,.,如果取等的条件不成立,则不能取到该最值,.,1.,已知,x,0,y,0,xy,=24,求,4,x,+6,y,的最小值，并说明此时,x,y,的值,4,已知,x,0,y,0,且,x,+2,y,=1,求,的最小值,2,已知,a,+,b,=4,求,y,=2,a,+2,b,的最小值,练习题：,当,x,=6,y,=4,时,最小值为,48,最小值为,8,3.,已知,x,0,，求函数 的最大值,.,
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