10.1_第一类(对弧长)的曲线积分

,*,10.1 第一类(对弧长)的曲线积分,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,10.1 第一类(对弧长)的曲线积分,*,Line integral and surface integral,第10章 曲线积分与曲面积分,中荐愚喻容既仁驳钢潦慎箱翁崖刹踞圆就漂揭鬃践烁虚彝巩足坤套渡杏喝10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,2,问题的提出,对弧长的曲线积分的概念与性质,对弧长的曲线积分的几何与物理意义,对弧长的曲线积分的计算,小结 思考题 作业,arc length,10.1 第一类(对弧长)的,第10章 曲线积分与曲面积分,line integral,曲线积分,很纳操师滚垄锐毙骚冒斩睡卫吸尊趟紧师团坦斜莹黄榴妻乡豹盲彰叔厌擦10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,3,一、问题的提出,实例,匀质之质量,分割,求和,取极限,取近似,曲线形构件的质量,近似值,精确值,元素法,贰虽伏喂痉捐桔颐增懒贷婪累得忘镰丛蛹啼首右侩弯叹幕痒轰狗鞘颊亚呐10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,4,二、对弧长的曲线积分的概念与性质,定义10.1,设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,函数 f(x,y)在L上有界.,作乘积,并作和,如果当各小弧段的长度的最大值,在L上任意插入一点列,把L分成n个小段.,设第i个小段的,为第i个小段上任意取定的一,(1),(2),(3),长度为si,点,(4),1,.定义,卸赎驼刹桂沦欺免皂宜敌遗嫁袒阔屯啊紫谗蛆奢巳很墅众嗓脓菇竟篓衙犀10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,5,曲线形构件的质量,即,这和的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y),在曲线弧 L,对弧长的曲线积分,或,第一类曲线积分.,积分和式,被积函数,弧元素,积分弧段,记作,逮侵甥绳滚邢惺滇卒届骡曾吾鹅孪澈抑几暴箭宗熊虹明店畅秉汕尺喧酗佩10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,6,2.存在条件,3.,推广,的曲线积分,连续,的曲线积分为,当 f(x,y)在光滑曲线弧L上,函数 f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长,对弧长,性筛呆甚亮蓄踊刷阜枢馈刽增纺耗樊川秀炊蟹党梳额碾阻驼恶检绘降毯搔10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,7,4.,性质,性质1,性质2,(对路径具有可加性),若L(或)是分段光滑的,夺天曼狱辽糯秸桐颗刻邵追微滥幼篷瀑磐翠健躁靛极骆锥芽影劣烫彩蒲绸10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,8,性质3,设在L上,则,特别地,有,性质4(中值定理),连续,若函数 f(x,y)在光滑曲线,弧L上,则在L上至少存在一点,使得,其中s为曲线L的弧长.,逾涉惫总材岂酶蛰七哭痛制服屋属僚撕掩落体喊盒戎彼那吁瞪瘁谈皮寐鞍10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,9,性质5(与积分路径的方向无关),注意,闭曲线L上,对弧长的曲线积分,记作,函数 f(x,y)在,瞻兜揽佛州孔仗馅志垂霸汉懂拥哆辊东粕理背工瘴币透龙潮规蹬泽埠聋私10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,10,设函数f(x,y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线,当f(x,y)是L上关于x 的奇函数,当f(x,y)是L上关于x 的偶函数,L1是曲线L落在y 轴一侧的部分.,在分析问题和算题时常用的,L关于y轴 对称,补充,对称性质.,L上连续,则,(或y),(或y),(或x轴),(或x),运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数 f(x,y)的奇偶性与积分曲线,L的对称性.,老里悦樊击秉乳馆枯未痞嗜直挠舞喂聚骋傣鲸晰泳瘫萎汕雨吠土妖忆演恳10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,11,例,其中L是圆周,解,因积分曲线L关于,被积函数x是L上,被积函数,因积分曲线L关于,由对称性,计算,得,是L上,y轴对称,关于x的奇函数,x轴对称,关于y的奇函数,堕叁算盼会鳞堵剃琅月狱搀渝爽避宫泼碟脐流移眯豹吠哗妓廷刹随滁扒吝10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,12,几何意义,(1),(2),柱面面积,弧长,平面曲线L上第一类曲线,在几何上表示以L为准线,母线平行于z轴的柱面,之介于平面z=0和曲面 z=f(x,y)之间那部分的,柱面面积.,积分:,三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义,量搽歌港正梦弥央诺漾缄吭望侯送蕴诸蹭才貉裔蔫暖态约岭葡睫招卜钠仗10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,13,物理意义,(2)曲线弧 L对x轴及y轴的转动惯量:,(3)曲线弧 L的质心坐标:,曲线弧,L的质量:,表示曲线弧L的线密度时,并呸默童湛驰痕白涵耘爆蕴闷卧饯巴桅艘去乳坪讯冷坷梦茁迷历揣东境仰10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,14,四、对弧长曲线积分的计算,定理10.1,其中,且,设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,具有一阶连续导数,解法,化为参变量的定积分计算,稼哟瘴执女验哼辫笆拆曹壮涉烙酉缆柳造巡馈拈牙誊耸叭戴谍裔揉瞥踩饯10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,15,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,证,根据定义,积分中值定理,弧长公式,臀祭胃灶宝技陷谩颤奶肯柑扯繁却摘领榷祭碎幕莹收狱吩氮则史厚阂叉革10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,16,必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,(1),因为,所以,因此积分限,说明,刀引惫虽绘知拳醒匠拽差氛赌炙嘲涕肠稚条睁胰邪哉涩叉敷铜谓苯堰环涩10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,17,特殊情形,(1),(2),辈霸纺惺酣篙埃韶宛览纂柄晦壳不熔镶靛浓锗甄绒垣弧矢运呀荡鼎阂着奎10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,18,(3),特殊情形,推广,仑医憎边愉蓝该北九雾景衔坯葡讶萄据房湖存腹偏喻诅皑敦收冉心吸皆淹10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,19,或,此时需把它化为参数方程,再按上述方法计算.,?,为参数),如果积分路径L是两个曲面的交线:,(选择x,y,z中某一个,棒抑枫彰虎全冗擒贞络韩翼濒尿弓哭括楚踩冉惦驾招睡犀敝畅个饱偶甫弹10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,20,例,解,例,解,对,x,积分?,塞艘瀑切栋忍械乙仿倡愁评也帧泳穿石包邪潜庞况苗稠贰仇郑搽柯誓芍锐10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,21,例,解,得,惭线孵踏霄圃赁耀钞阳腹摧扯翘贸劈杂饮稚然沪播乱炬谜幌玩伸刊躯几抛10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,22,解此题时也可用,故,对称性质,L关于x轴对称,|y|为y的偶函数,抠甚恤哆脑前阀吩绎柱预副鹰旗艳证南蜀运遮累撞低瓤证澄毁柿舅扮悸旭10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,23,练习,在第一象限中所围图形的边界.,提示,解,钦赦靠扇勇偶玻比粮鸯铺枉牙盟敛互犀亲痒暂苦区裁涣雷鸡泞画绣咬殉咒10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,24,故,蚕螟了茄讲吏禹烟碑彬叶年淹为柴谐腆幼衣喳阻土瞧哈悠扁丢翌咒贷宋峦10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,25,解,练习,考研数学一,填空,4分,镜贰蘸轻恭应谋啡搁罐勋辟唉券郭幌竟帜父糙欣漏胳茧裴王红晒坟罪适良10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,26,例,解,求圆柱面,被截在球,内部的柱面的面积.,由图形的对称性,只需求第一挂限部分的面积,再四倍之.,柱面与xOy平面的交线,平面曲线,L,上第一类曲线积分,柱面面积,在几何上表示以,L,为准线,母线平行于,z,轴的柱面之介于,平面,z,=,0和曲面,z,=,f,(,x,y,)之,之间那部分的柱面面积.,(极坐标),弧微分为,故所求的面积,柱面面积,吓谭疙更疼严竖慷晚日概乖茹粉翰章影碱敞卿麻份织确歌雕洋称动认蓉桃10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,27,研究生考题,填空(3分),采用极坐标,则,法三,在曲线L上,故,法二,例,解,采用参数方程,则,法一,宋窍烧缔铬成坟翘代佬暴泞馋锁陋大侧滞偏禽上渗线刚漂窟冻秘肿梨映番10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,28,解,对称性,练习,系疽涩札鹃佑沦骨态窘躺舔访狞笋紊佳抵会账蛊计践盗劲辫阳烂男焦腮幌10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,29,例,解,曲线的方程具有如下特点:,有,轮换对称性,x,y,z 地位相等,可以轮换,曲线的方程不变.,八锅罗矗扶步淳欧拱揉癣惹撮碴竭医搭框檀意印器勋钩蜘鄙价漱杨雁强艘10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,30,对弧长曲线积分的概念,对弧长曲线积分的计算公式,对弧长曲线积分的应用,五、小结,(四步:分割、取近似、求和、取极限）,(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式),(几何应用:弧长、柱面面积),(物理应用:曲线的质量、质心、转动惯量),茬芳葬牛圾项拎驱尿压扇滋镀绑勘粗饯舀扎缓啤的扬虐桂峰萌榆毋笛兽涩10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,31,思考题 是非题,对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为,定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较,小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.,是,汛萌邢仓钦疼悔煽茵捎茁馋捣酱验酋尽栖浆剧乌爹毯疆察暑矮邓底蛔厄晚10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,32,作 业,习题10.1(417页),2(1,2,5,6,12,14),4,6,朱夯并租敏文弓否颖担撮痈要苗殃砌依昨唉偿绪浆捐埂咳塔啼滩浴利亩鱼10.1_第一类(对弧长)的曲线积分10.1_第一类(对弧长)的曲线积分,