第二章 范数理论

,北京理工大学高数教研室,*,第一章 第一节 函数,第二章 范数理论,2.1,向量范数,定义,：,若对任意 都有一个实数 与之对应，且满足：,（,1,）非负性：当 只有且仅有当,（,2,）齐次性：为任意数。,（,3,）,三角不等式：对任意 ，,都有,则称 为 上向量 的范数,，,简称向量范数。,北京理工大学高数教研室,例,：,在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,北京理工大学高数教研室,证明：,都是 上的范数，并且还有,北京理工大学高数教研室,引理,设 均为非负实数，则总有,Holder,不等式,：,设,北京理工大学高数教研室,证：令 ，其中,代入上述不等式，则有,北京理工大学高数教研室,Minkowski,不等式,：,设,则对任何 都有,北京理工大学高数教研室,证明,以 代入下式,则,对上式由,Holder,不等式可得,北京理工大学高数教研室,此不等式两端同除以 ，根据,可得,北京理工大学高数教研室,几种常用的范数,定义：,设向量 ，对任意的数 ，称,为向量 的,范数,。,（,1,）,1,范数,（,2,）,2,范数,(,也称为,欧氏范数,),（,3,）,范数,北京理工大学高数教研室,利用向量范数可以构造新的向量范数。,例,1,设 是 上的向量范数，且,，则由,所定义的 是 上的向量范数。,北京理工大学高数教研室,定义,设 是 上定义的两种向量范数，如果存在两个正数 使得,则称向量范数 等价。,定理,上的任意两个向量范数都是等价的。,北京理工大学高数教研室,向量范数的应用：,定义,：给定 中的向量序列 ，其中,如果,则称向量序列 收敛于 简称 收敛，记为,不收敛的向量序列称为是发散的。,北京理工大学高数教研室,定理,：中的向量序列 收敛于 的充要条件是对于 上的任意一种向量范数 ，都有 。,证明,：设,则有,可见 的充要条件是,对于 上的任意一种向量范数 ，由等价性知,从而 的充要条件是,。,北京理工大学高数教研室,定义,对于任何一个矩阵 ，都有一个实数 与之对应，且满足,（,1,）非负性：当 ，当且仅当,（,2,）齐次性：为任意复数。,（,3,）三角不等式：对任意 都有,2.2,矩阵范数,（,4,）相容性：对于任意 ，都有,则称 是,矩阵 的范数。,北京理工大学高数教研室,例,1,对于任意 ，定义,可以证明如此定义的 为矩阵 的 范数。,北京理工大学高数教研室,证明,只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则,北京理工大学高数教研室,例,2,设矩阵 ，证明：,是矩阵的 范数。,证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑相容性。设,，那么,北京理工大学高数教研室,因此 为矩阵 的范数。,北京理工大学高数教研室,例,3,对于任意 ，定义,可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的,Frobenious,范数,。,证明,此定义的非负性，齐次性是显然的。利用,Holder,不等式和,Minkowski,不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。,设 ，则,北京理工大学高数教研室,于是有,北京理工大学高数教研室,Frobenious,范数的性质,：,（,1,）如果 ，那么,（,2,）,（,3,）对于任意 阶酉矩阵 都有等式,北京理工大学高数教研室,关于矩阵范数的等价性定理。,定理,设 是矩阵 的任意两,种范数，则总存在正数 使得,北京理工大学高数教研室,与向量范数的相容性,定义,设 是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有,则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。,例,1,矩阵的,Frobenius,范数与向量的,2-,范数是相容的,.,证明,因为,北京理工大学高数教研室,根据,Holder,不等式可以得到,于是有,北京理工大学高数教研室,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？,定理,2,设 是矩阵范数，则存在向量范数,使得,证明,对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且,北京理工大学高数教研室,算子范数,(,如何由向量范数构造与之相容的矩阵范数？,),定理,设 是向量的范数，则,满足矩阵范数的定义，且 是与向量范,相容的矩阵范数。上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所导出的,从属范数,或,算子范数,。,证明,首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,北京理工大学高数教研室,因此 的确满足矩阵范数的定义。,北京理工大学高数教研室,由向量,P-,范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵,P-,范数。即,常用的,矩阵,P-,范数,为 ，和 。,北京理工大学高数教研室,定理,设 ，则,（,1,）,我们称此范数为矩阵 的,列和范数,。,（,2,）,表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的,谱范数,。,（,3,）,我们称此范数为矩阵 的,行和范数,。,北京理工大学高数教研室,计算 ，和 。,解,例,1,设,北京理工大学高数教研室,因为,所以,练习,设,分别计算这两个矩阵的 ，,和 。,北京理工大学高数教研室,定理,设 ，为,阶酉矩阵，则,（,1,）,（,3,）若 是正规矩阵，且 是 的 个特征值，则,（,2,）,北京理工大学高数教研室,2.3,范数应用举例,矩阵的谱半径及其性质,定义,设 ，的 个特征值为,，我们称,为,矩阵 的谱半径,。,定理,设 ，那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。,定理,设 则,（,1,）,（,2,）,（,3,）当 是一个正规矩阵，则,.,北京理工大学高数教研室,定理,设 对任意的 存在某一矩阵范数 ，使得,矩阵的条件数：,设 是 上的,矩阵范数，称,为矩阵 的,条件数,。,例,如果 ，则 均为可逆矩阵。,北京理工大学高数教研室,