第2章-有限差分法基础

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,材料成形模拟技术,讲义,第,2,章 有限差分法基础,华中科技大学 周建新,Tel:027-87541922,Email:,1,主要内容,1,、差分原理及逼近误差,2,、差分方程，截断误差和相容性,3,、收敛性与稳定性,4,、,Lax,等价定理,2,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理（,1/8,）,1,差分原理,设有,x,的解析函数,y,=,f,(,x,),，从微分学知道函数,y,对,x,的导数为,是函数对自变量的导数，又称微商；,、,分别称为函数及自变量的差分，,为函数对自变量的差商。,3,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,2/8,）,向前差分,向后差分,中心差分,0,4,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,3/8,）,上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 。,以向前差分为例，有,5,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,4/8,）,依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。,例如,n,阶前差分为,6,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,5/8,）,函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。,一阶向前差商为,一阶向后差商为,7,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,6/8,）,一阶中心差商为,或,8,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,7/8,）,二阶差商多取中心式，即,当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。,9,第一节 差分原理及逼近误差,/,差分原理,（,8/8,）,以上是一元函数的差分与差商。多元函数,f,(,x,y,),的差分与差商也可以类推。,如一阶向前差商为,10,第一节 差分原理及逼近误差,/,逼近误差,（,1/4,）,由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的,Taylor,展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。,现将函数,在,x,的,邻域作,Taylor,展开：,2,逼近误差,11,第一节 差分原理及逼近误差,/,逼近误差,（,2/4,）,一阶向后差商也具有一阶精度。,12,第一节 差分原理及逼近误差,/,逼近误差,（,3/4,）,将,与,的,Taylor,展开式相减可得,可见一阶中心差商具有二阶精度。,13,第一节 差分原理及逼近误差,/,逼近误差,（,4/4,）,将,与,的,Taylor,展开式相加可得,这说明二阶中心差商的精度也为二阶,14,第一节 差分原理及逼近误差,/,非均匀步长,（,1/3,）,在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图,2-1,中的,，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。,O,x,非均匀步长差分,3,非均匀步长,一阶向后差商,一阶中心差商,15,第一节 差分原理及逼近误差,/,非均匀步长,（,2/3,）,均匀和非均匀网格实例,1,16,第一节 差分原理及逼近误差,/,非均匀步长,（,3/3,）,均匀和非均匀网格实例,2,17,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,差分方程（,1/3,）,从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。,18,差分网格,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,差分方程（,2/3,）,19,若时间导数用一阶向前差商近似代替，即,空间导数用一阶中心差商近似代替，即,则在,点的对流方程就可近似地写作,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,差分方程（,3/3,）,20,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,截断误差（,1/6,）,按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,用空间中心差商代替空间导数时的误差为,，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是,这也可由,Taylor,展开得到。因为,21,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,截断误差（,2/6,）,一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。,对流方程的初值问题为,这里,为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：,初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，,称为相应微分方程定解问题的差分格式。,22,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,截断误差（,3/6,）,FTCS,格式,FTFS,格式,FTBS,格式,23,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,截断误差（,5/6,）,(a)FTCS (,b)FTFS,(,c)FTBS,差分格式,24,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,截断误差（,6/6,）,FTCS,格式的截断误差为,FTFS,和,FTBS,格式的截断误差为,3,种格式对,都有一阶精度。,25,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,相容性（,1/3,）,一般说来，若微分方程为,其中,D,是微分算子，,f,是已知函数，而对应的差分方程为,其中,是差分算子，则截断误差为,这里,为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。,如果当,、,时，差分方程的截断误差的某种范数,也趋近于零，即,则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。,如果当,、,时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。,26,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,相容性（,2/3,）,若微分问题的定解条件为,其中,B,是微分算子，,g,是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为,其中,是差分算子，则截断误差为,27,第二节 差分方程、截断误差和相容性,/,相容性（,3/3,）,只有方程相容，定解条件也相容，即,和,整个问题才相容。,无条件相容 条件相容,以上,3,种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。,28,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,1/6,）,所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而，方程（无论是微分方程或是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此，除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学表达方法在形式上是一致的）外，还进一步要求差分格式的解（精确解）与微分方程定解问题的解（精确解）是一致的（表明这两种数学表达方法的最终结果是一致的）。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。更明确地说，对差分网格上的任意结点,，也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点,的解为,相应的微分问题的解为,，二者之差为,称为离散化误差。如果当,、,时，离散化误差的某种范数,趋近于零，即,则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又,分为有条件收敛和无条件收敛。,、,29,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,2/6,）,30,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,3/6,）,相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解,收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，,讨论其收敛性：,微分问题,的,FTBS,格式为,在某结点（,x,i,t,n,）微分问题的解为,，差分格式的解为,，则离散化误差为,31,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,4/6,）,按照截断误差的分析知道,以,FTBS,格式中的第一个方程减去上式得,或写成,若条件,和,成立，即,，则,式中,表示在第,n,层所有结点上,的最大值。,32,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,5/6,）,由上式知，对一切,i,有,故有,于是,综合得,33,第三节 收敛性与稳定性,/,收敛性（,6/6,）,由于初始条件给定函数,的初值，初始离散化误差,。并且,是一有限量，因而,可见本问题,FTBS,格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级。最后得到,这样就证明了，当,时，本问题的,RTBS,格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的,收敛情况称为一致收敛。,。,此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，,但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求,。,34,第三节 收敛性与稳定性,/,稳定性（,1/2,）,首先介绍一下差分格式的依赖区间、决定区域和影响区域。还是以初值问题,为例。先看,FTCS,格式，如图（,a,）欲计算第二层,p,点的函数值，必先知道第一层上,a,、,b,、,c,这,3,点的函数值，故说,p,点的解依赖于,a,、,b,、,c,这,3,点的解。而,a,点的解又依赖于第,0,层（初值线）上,A,、,d,、,e,的初值，,b,点的解依赖于,d,、,e,、,f,的初值，,c,点的解依赖于,e,、,f,、,B,的初值。因此,p,点的解依赖于初值线,AB,段上所有结点的初值，故称,AB,段上所有结点为,p,点的依赖区间。又，三角形,pAB,区域内任一结点的依赖区间都包含在,AB,之内，即该区域内任一结点上的解都由,AB,段上某些结点的初值所决定，而与,AB,以外结点的初值无关,，故称此三角形区域为,AB,区间所决定的区域。这里为方便起见，是以第二层的,p,点为例的，事实上对任意层的任一结点，都在初始层上有一对应的依赖区间，而初始层的任一区间都有一对应的决定区域。,(a)FTCS,(b)FTFS,(c)FTBS,差分格式的依赖区间,35,第三节 收敛性与稳定性,/,稳定性（,2/2,）,随着时间的推移，一点函数值将影响以后某些结点的解。如图，设,p,为第,n,层的某结点，当用,FTCS,格式,计算第,n,+1,层上的结点值时，,a,、,b,、,c,这,3,点的解必须用到,p,点的函数值，在第,n,+2,层上则有更多点的解受,p,点,函数值的影响。所有受,p,点函数值影响的结点总和为,p,点的影响区域，如图中阴影所示区域。,FTCS,格式,(b),FTFS,格式,(c),FTBS,格式,差分格式的影响区域,36,第四节,Lax,等价定理（,1/2,）,前面讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。已经知道，相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。,Lax,等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。,Lax,等价定理,：,对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为,37,第四节,Lax,等价定理（,2/2,）,根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。,38,