二重积分的计算 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分的计算,欧阳顺湘,北京师范大学珠海分校,2005.1.2-1.5,基本思想,o,y,x,z,a,b,二重积分的计算,化二重积分为二次积分,预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）,A(x),x,如右图所示立体：介于平面,x=a,与,x=b,之间,在区间,a,b,内任取一点,x,，,过该点,作,x,轴的垂直平面，若该平面的面,积为,A(x),，,则由定积分的元素法可,知立体体积为,如果积分区域,D,可表示为：,a,b,y=,2,(x),y=,1,(x),o,x,y,-,型区域,用平行于,yoz,面的平面去截立体，,则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,如果积分区域,D,可表示为：,-,型区域,用平行于,xoz,面的平面去截立体，,则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,o,x,c,d,y,x=,2,(y),x=,1,(y),或记为,或记为,利用,直角坐标系计算二重积分,1,、,2,、,X-,型区域,Y-,型区域,a,b,x,y,o,D,c,d,D,y,x,o,例,1,计算二重积分,其中,D,为矩形区域,例,2,已知,xoy,平面第一象限内的区域,D,是由直线,x=0,和,y=2,和抛物线,y=x2/2,所围成,.,求区域,D,的面积,求由曲面,z=,f(x,y,),为顶，以,D,为底的曲顶柱体的体积,.,练习解答,8,（,2,）,计算下列二重积分,由,围成,先积 后积 如何？,解,原式,要分成两部分之和,例,1,计算下列二重积分,先积 后积,要分作两部分计算,解,小结：化二重积分为二次积分时，,积分次序,的确定应考虑,积分区域的,形状,，还应考虑积分计算的,难度与方便,。,由,围成,直角坐标系下交换二次积分的积分次序,如果积分区域,D,既可表示为,-,型区域,：,又可表示为,-,型区域,：,则有如下交换积分次序公式：,-,型区域,-,型区域,例,4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,由,围成。,或记为,故,或记为,解,D,可表示为：,D,又可表示为：,o,4,4,x,y=x,y,2,=4x,y,x,y,例,4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,或,或记为,或记为,o,x,y,-r,r,x,2,+y,2,=r,2,例,4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,由,围成。,或,或记为,或记为,补充题,1,、改变积分 的次序。,有些二重积分，其积分区域的边界曲线用,极坐标表示较为方便，或被积函数用极坐标表示比,较简单，这时可考虑利用极坐标计算。（演示）,在二重积分的定义式,中,被积,函数可用极坐标表示为：,面积元素如图所示：,于是，极坐标下二重积分为：,可表示为,参考直角坐标系下化二重积分为二次积分的做法，可得：,利用,极坐标系计算二重积分,D,例,3,计算下列立体的体积,（,2,）由曲面,及平面,围成的立体。,解,立体在,xoy,面内的投影区域,D,可表示为：,为极坐标下的二次积分。,例,4,化二重积分,1,解,解,为极坐标下的二次积分。,例,4,化二重积分,解,例,5,计算二重积分,D,是由,和 围成。,解 积分区域,D,可表示为：,另一方面，,一方面，,例,6,求,所以：,解,例,7,计算下列立体的体积,由柱面 曲面,及,所围成的立体体积。,解,练习,Page 210,例,8,The End,二 重 积 分,欧阳顺湘,北京师范大学珠海分校,2005.1.2,