《参数方程的概念》课件1

1、 参 数 方 程 的 概 念 （ 1） 在 取 定 的 坐 标 系 中 ， 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐标 x 、 y都 是 某 个 变 数 t的 函 数 ， 即并 且 对 于 t的 每 一 个 允 许 值 ， 由 上 述 方 程 组 所 确 定 的 点M（ x,y） 都 在 这 条 曲 线 上 ， 那 么 上 述 方 程 组 就 叫 做 这条 曲 线 的 参 数 方 程 ， 联 系 x、 y之 间 关 系 的 变 数 叫 做 参变 数 ， 简 称 参 数 。 参 数 方 程 的 参 数 可 以 是 有 物 理 、 几何 意 义 的 变 数 ， 也 可 以 是 没 有 明 显 意 义 的 变 数 。 )( )(tgy tfx（ 2） 相 对 于 参 数 方 程 来 说 ， 前 面 学 过 的 直 接 给 出 曲线 上 点 的 坐 标 关 系 的 方 程 ， 叫 做 曲 线 的 普 通 方 程 。 即的 函 数都 是纵 坐 标 、的 横 坐 标点根 据 三 角 函 数 定 义 圆 半 径 为的 坐 标 为如 果 点 , , ,),( 0 y xP OPPryxP sincosry rx 并 且 对 于 的 每 一 个 允 许 值 ,由 方 程 组 所 确 定 的 点 P(x,y),都 在 圆 O上 . o思 考 1： 圆 心 为 原 点 ， 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 ？ -5 5 5 -5 r p0 P(x,y) 我 们 把 方 程 组 叫 做 圆 心 在 原 点 、 半 径 为 r的 圆 的参 数 方 程 ， 是 参 数 . 观 察 1 sincos11 ry rx ?,)()( ),(:2 222 1 那 么 参 数 方 程 是 什 么 呢为 的 圆 的 标 准 方 程、 半 径 为圆 心 为思 考 rbyax rbaO 观 察 2 5 -5 -5 5 v(a,b) o P(x,y)O 1),( 111 yxP (a,b)r1 11 1 1( , ), ( , )( , ) ,O a b rO rO P x yO P x y圆 心 为 、 半 径 为 的 圆 可 以看 作 由 圆 心 为 原 点 、 半 径 为 的 圆平 移 得 到 设 圆 上 任 意 一 点是 圆 上 的 点 平 移 得 到 的由 平 移 公 式 有又 所 以 sincosrby rax byy axx 11 （ 3） 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 sincosry rx x2+y2=r2 222 )()( rbyax sincosrby rax注 ： 1、 参 数 方 程 的 特 点 是 没 有 直 接 体 现 曲 线 上 点 的横 、 纵 坐 标 之 间 的 关 系 ， 而 是 分 别 体 现 了 点 的 横 、 纵坐 标 与 参 数 之 间 的 关 系 。 2、 参 数 方 程 的 应 用 往 往 是 在 x与 y直 接 关 系 很 难或 不 可 能 体 现 时 ， 通 过 参 数 建 立 间 接 的 联 系 。 已 知 曲 线 C的 参 数 方 程 是(1)判 断 点 （ 0， 1） ,(5,4)是 否 在 上 .(2)已 知 点 （ ， a） 在 曲 线 上 ， 求 a. 123 2ty tx 例 1、 已 知 圆 方 程 x2+y2 +2x-6y+9=0， 将 它化 为 参 数 方 程 。解 ： x2+y2+2x-6y+9=0化 为 标 准 方 程 ， （ x+1） 2+（ y-3） 2=1， 参 数 方 程 为 sin3 cos1yx (为 参 数 ) 练 习 ： 1.填 空 ： 已 知 圆 O的 参 数 方 程 是 sin5cos5yx (0 2 ) 5 5 32 , ,2 2Q Q 如 果 圆 上 点 所 对 应 的 坐 标 是 则 点 对 应的 参 数 等 于 如 果 圆 上 点 P所 对 应 的 参 数 ， 则 点 P的 坐 标 是 35 235,2532 2 cos2. ( )2sin. , 2. , 2. xyABCD 选 择 题 ： 参 数 方 程 为 参 数 表 示 的 曲 线 是圆 心 在 原 点 半 径 为 的 圆圆 心 不 在 原 点 但 半 径 为 的 圆不 是 圆以 上 都 有 可 能 A半 径 为 表 示 圆 心 为参 数 方 程、 填 空 题 sin2 cos2)1( :3 yx的 圆 ， 化 为 标 准 方 程 为 （ 2， -2）1 122 22 yx sin22 cos21yx 化 为 参 数 方 程 为把 圆 方 程 0142)2( 22 yxyx xMP AyO解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin)点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆x2+y2=16的参数方程为例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 观 察 3 解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) (2x-12)2+(2y)2=16即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点P在圆x2+y2=16上xMP AyO例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 例 3、 已 知 点 P（ x， y） 是 圆 x2+y2- 6x- 4y+12=0上 动点 ， 求 （ 1） x2+y2 的 最 值 ， （ 2） x+y的 最 值 ， （ 3） P到 直 线 x+y- 1=0的 距 离 d的 最 值 。 解 ： 圆 x2+y2- 6x- 4y+12=0即 （ x- 3） 2+（ y- 2） 2=1，用 参 数 方 程 表 示 为 sin2 cos3yx由 于 点 P在 圆 上 ， 所 以 可 设 P（ 3+cos， 2+sin）（ 1） x 2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其 中 tan =3/2) x2+y2 的 最 大 值 为 14+2 ， 最 小 值 为 14- 2 。13 13(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）2 4 x+y的 最 大 值 为 5+ ， 最 小 值 为 5 - 。 22(3) 2 )4sin(242 1sin2cos3 d显 然 当 sin（ + ） = 1时 ， d取 最 大 值 ， 最小 值 ， 分 别 为 ， 。 4 122 221 例 4、 将 下 列 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ： sin3 cos32yx(1) 2cossinyx(2)(3) x=t+1/ty=t2+1/t2（ 1） （ x-2） 2+y2=9 （ 2） y=1- 2x2（ - 1x1）（ 3） x 2- y=2（ X2或 x- 2）步 骤 ： （ 1） 消 参 ； （ 2） 求 定 义 域 。 小 结 :1、 圆 的 参 数 方 程2、 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 概 念3、 圆 的 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化4、 求 轨 迹 方 程 的 三 种 方 法 ： 相 关 点 点 问题 （ 代 入 法 ） ； 参 数 法 ； 定 义 法5、 求 最 值 )(211001 2 为 参 数 ， 表 示 时 间、 tgthy tx )(41 32 ,41,32 ),(2 为 参 数以 时 间的 轨 迹 的 参 数 方 程 为于 是 点 则， 动 点 的 位 置 是、 设 经 过 时 间 tty tx M tytx yxMt xy ACB O 6)23(sin )21(cos)23(sin)21(cos sin)1(cos)sin,(cos )23,21(),23,21(),0,1(, )(sincos , 13 2 222 22222 MCMBMA MCBA yx xCBABC则设 点 的 坐 标 分 别 为 为 参 数是那 么 外 接 圆 的 参 数 方 程 轴 对 称关 于， 时 点如 图 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 建 立的 外 接 圆 的 半 径 为、 解 ： 不 妨 设 双 曲 线 ；）（ 一 段 抛 物 线 ； 为 端 点 的以）（ 直 线 ；、 解 ,43 )2,1(),2,1(,1,1,22 ,072)1(;4 22 2 yx xxy yx )(sincos)2( )(1 13)1(5 442 为 参 数为 参 数、 ay ax tty ttx