教育专题：立体几何大题二轮复习课件

2020/3/14,#,第,2,讲立体几何,(,大题,),立体几何,与空间向量,1,PART ONE,热点一平行、垂直关系的证明,热点二利用空间向量求空间角,热点三利用空间向量解决探索性问题,热点一平行、垂直关系的证明,用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理,.,如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线,a,b,，只需证明向量,a,b,(,R,),即可,.,若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,.,例,1,如图，在直三棱柱,ADE,BCF,中，平面,ABFE,和平面,ABCD,都是正方形且互相垂直，点,M,为,AB,的中点，点,O,为,DF,的中点,.,运用向量方法证明：,(1),OM,平面,BCF,；,证明,方法一,由题意，得,AB,，,AD,，,AE,两两垂直，以点,A,为原点建立如图所示的空间直角坐标系,A,xyz,.,棱柱,ADE,BCF,是直三棱柱,，,AB,平面,BCF,，,OM,平面,BCF,.,又,BF,，,BC,平面,BCF,，,OM,平面,BCF,，,OM,平面,BCF,.,(2),平面,MDF,平面,EFCD,.,证明,方法一,设平面,MDF,与平面,EFCD,的法向量分别为,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,).,同理可得,n,2,(0,1,1).,n,1,n,2,0,，,平面,MDF,平面,EFCD,.,方法二,由题意及,(1),知，,BF,，,BC,，,BA,两两垂直，,又,CD,FC,C,，,CD,，,FC,平面,EFCD,，,OM,平面,EFCD,.,又,OM,平面,MDF,，,平面,MDF,平面,EFCD,.,跟踪演练,1,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AD,CD,，,BC,2,，,AD,CD,1,，,M,是,PB,的中点,.,(1),求证：,AM,平面,PCD,；,证明,如图，以,C,为坐标原点建立空间直角坐标系,C,xyz,，,则,A,(1,1,0),，,B,(0,2,0),，,C,(0,0,0),，,D,(1,0,0),，,设平面,PCD,的法向量为,n,1,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,令,y,0,a,，则,n,1,(0,，,a,，,1),，,又,AM,平面,PCD,，所以,AM,平面,PCD,.,(2),求证：平面,ACM,平面,PAB,.,设平面,ACM,的法向量为,n,2,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,令,x,2,1,，则,n,3,(1,1,0),，所以,n,2,n,3,1,1,0.,所以平面,ACM,平面,PAB,.,热点二利用空间向量求空间角,设直线,l,，,m,的方向向量分别为,a,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，,b,(,a,2,，,b,2,，,c,2,).,平面,，,的法向量分别为,(,a,3,，,b,3,，,c,3,),，,v,(,a,4,，,b,4,，,c,4,)(,以下相同,).,(1),线线夹角,(2),线面夹角,(3),二面角,例,2,(,2019,南昌模拟,),如图，四棱台,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，底面,ABCD,是菱形，,CC,1,底面,ABCD,，且,BAD,60,，,CD,CC,1,2,C,1,D,1,4,，,E,是棱,BB,1,的中点,.,(1),求证：,AA,1,BD,；,证明,因为,C,1,C,底面,ABCD,，所以,C,1,C,BD,.,因为底面,ABCD,是菱形，所以,BD,AC,.,又,AC,CC,1,C,，,AC,，,CC,1,平面,ACC,1,A,1,，,所以,BD,平面,ACC,1,A,1,.,又,AA,1,平面,ACC,1,A,1,，,所以,BD,AA,1,.,(2),求二面角,E,A,1,C,1,C,的余弦值,.,解,如图，设,AC,交,BD,于点,O,，,依题意，,A,1,C,1,OC,且,A,1,C,1,OC,，,所以四边形,A,1,OCC,1,为平行四边形，,所以,A,1,O,CC,1,，且,A,1,O,CC,1,.,所以,A,1,O,底面,ABCD,.,以,O,为原点，,OA,，,OB,，,OA,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,EA,1,C,1,的法向量，,取,z,3,，得,n,(0,4,3),，,平面,A,1,C,1,C,的法向量,m,(0,1,0),，,又由图可知，二面角,E,A,1,C,1,C,为锐二面角，,(1),求证：,CD,BF,；,证明,E,为,CD,中点，,CD,2,AB,，,AB,DE,.,又,AB,CD,，,四边形,ABED,为平行四边形,.,BC,BD,，,E,为,CD,中点,，,BE,CD,，,四边形,ABED,为矩形,，,AB,AD,.,由,PAB,90,，得,PA,AB,，,又,PA,AD,A,，,PA,，,AD,平面,PAD,，,AB,平面,PAD,.,AB,CD,，,CD,平面,PAD,.,又,PD,平面,PAD,，,CD,PD,.,EF,PD,，,CD,EF,.,又,CD,BE,，,BE,EF,E,，,BE,，,EF,平面,BEF,，,CD,平面,BEF,.,又,BF,平面,BEF,，,CD,BF,.,(2),求直线,PB,与平面,PCD,所成的角的正弦值,.,解,由,(1),知,AB,平面,PAD,.,以,A,为原点，,AB,所在直线为,x,轴，,AD,所在直线为,y,轴，平面,PAD,内过点,A,且与,AD,垂直的线为,z,轴建立空间直角坐标系,A,xyz,，如图所示,.,PAD,120,，,PAz,30.,点,P,到,z,轴的距离为,1.,设平面,PCD,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,设直线,PB,与平面,PCD,所成的角为,.,热点三利用空间向量解决探索性问题,与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题,.,处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数,(,有些是题中已给出,),，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断,.,例,3,(,2019,临沂模拟,),如图，平面,ABCD,平面,ABE,，四边形,ABCD,是边长为,2,的正方形，,AE,1,，,F,为,CE,上的点，且,BF,平面,ACE,.,(1),求证：,AE,平面,BCE,；,证明,BF,平面,ACE,，,AE,平面,ACE,，,BF,AE,，,四边形,ABCD,是正方形，,BC,AB,，,又平面,ABCD,平面,ABE,，平面,ABCD,平面,ABE,AB,，,CB,平面,ABE,，,AE,平面,ABE,，,CB,AE,，,BF,BC,B,，,BF,，,BC,平面,BCE,，,AE,平面,BCE,.,AE,平面,BCE,，,BE,平面,BCE,，,AE,BE,，,在,Rt,AEB,中，,AB,2,，,AE,1,，,ABE,30,，,BAE,60,，,以,A,为原点，建立空间直角坐标系,A,xyz,，,设,AM,h,，则,0,h,2,，,AE,1,，,BAE,60,，,设平面,MCE,的一个法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,ABE,的一个法向量,m,(0,0,1),，,跟踪演练,3,如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AC,BC,，,AC,BC,AA,1,2,，点,P,为棱,B,1,C,1,的中点，点,Q,为线段,A,1,B,上一动点,.,(1),求证：当点,Q,为线段,A,1,B,的中点时，,PQ,平面,A,1,BC,；,证明,连接,AB,1,，,AC,1,，,点,Q,为线段,A,1,B,的中点,，,A,，,Q,，,B,1,三点共线,，且,Q,为,AB,1,的中点，,点,P,为,B,1,C,1,的中点,，,PQ,AC,1,.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,，,AC,BC,，,BC,平面,ACC,1,A,1,，,又,AC,1,平面,ACC,1,A,1,，,BC,AC,1,.,AC,AA,1,，,四边形,ACC,1,A,1,为正方形,，,AC,1,A,1,C,，,又,A,1,C,，,BC,平面,A,1,BC,，,A,1,C,BC,C,，,AC,1,平面,A,1,BC,，而,PQ,AC,1,，,PQ,平面,A,1,BC,.,解,由题意可知，,CA,，,CB,，,CC,1,两两垂直，,以,C,为原点，分别以,CA,，,CB,，,CC,1,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,C,xyz,，,连接,B,1,Q,，,PB,，设,Q,(,x,，,y,，,z,),，,B,(0,2,0),，,A,1,(2,0,2),，,P,(0,1,2,),，,B,1,(0,2,2),，,点,Q,在线段,A,1,B,上运动，,平面,A,1,PQ,的法向量即为平面,A,1,PB,的法向量，,设平面,A,1,PB,的法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,2,，得,n,1,(1,2,1),，,设平面,B,1,PQ,的法向量为,n,2,(,x,，,y,，,z,),，,取,n,2,(1,，,0,，,),，,2,PART,TWO,押题预测,真题体验,(,2019,全国,，理，,18,),如图，直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是菱形，,AA,1,4,，,AB,2,，,BAD,60,，,E,，,M,，,N,分别是,BC,，,BB,1,，,A,1,D,的中点,.,(1),证明：,MN,平面,C,1,DE,；,真题体验,证明,连接,B,1,C,，,ME,.,因为,M,，,E,分别为,BB,1,，,BC,的中点，,由题设知,A,1,B,1,DC,且,A,1,B,1,DC,，可得,B,1,C,A,1,D,且,B,1,C,A,1,D,，,故,ME,ND,且,ME,ND,，,因此,四边形,MNDE,为平行四边形，,MN,ED,.,又,MN,平面,C,1,DE,，,ED,平面,C,1,DE,，所以,MN,平面,C,1,DE,.,(2),求二面角,A,MA,1,N,的正弦值,.,建立如图所示的空间直角坐标系,D,xyz,，,押题预测,如图,1,，在梯形,ABCD,中，,AB,CD,，过,A,，,B,分别作,AE,CD,，,BF,CD,，垂足分别,E,，,F,，,AB,AE,2,，,CD,5,，已知,DE,1,，将梯形,ABCD,沿,AE,，,BF,同侧折起，得空间几何体,ADE,BCF,，如图,2.,(,1),若,AF,BD,，证明：,DE,平面,ABFE,；,证明,由已知得四边形,ABFE,是正方形，且边长为,2,，在图,2,中，,AF,BE,，,由已知得,AF,BD,，,BE,BD,B,，,BE,，,BD,平面,BDE,，,AF,平面,BDE,，,又,DE,平面,BDE,，,AF,DE,，,又,AE,DE,，,AE,AF,A,，,AE,，,AF,平面,ABFE,，,DE,平面,ABFE,.,解,在图,2,中，,AE,DE,，,AE,EF,，,DE,EF,E,，,DE,，,EF,平面,DEFC,，,即,AE,平面,DEFC,，,在梯形,DEFC,中，过点,D,作,DM,EF,交,CF,于点,M,，连接,CE,，,由题意得,DM,2,，,CM,1,，,由勾股定理可得,DC,CF,，,过,E,作,EG,EF,交,DC,于点,G,，,可知,GE,，,EA,，,EF,两两垂直，,设平面,ACD,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,设,CP,与平面,ACD,所成的角为,，,