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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,东北大学设备诊断工程中心,*,第五章 连续系统的近似解,上面讨论过的均匀杆的纵向振动、扭转振动,和模向振动等，只是在简单的端点条件得到的,精确解。实际问题中，大量的质量和刚度分布,不均匀的连续系统不可能得到精确解，因此，,采用近似计算方法在工程中是十分重要的。,本章所考虑的近似方法是对连续系统离散化,的方法即用一个相当的离散系统来代替一个连,续系统。,离散化方法可分为两大类：,10/3/2024,1,东北大学设备诊断工程中心,1,把解写成有限级数形式,把无限个自由系统离散化为,n,个自由度系统。,2,把质量集中到本来是连续系统的各质点上。,本章主要研究第一类方法：瑞利法；瑞,利,李兹法；假定振型法。,他们都基于瑞雷商的概念。,5-1,瑞利商,以多个自由度系统为例来讲瑞雷商的概念。,10/3/2024,2,东北大学设备诊断工程中心,设有,n,个自由度的保守系，以 表,示系统的广义坐标，相应的刚度矩阵为 ，惯,性矩阵为 。设特征值的解为,设想系统以某一阶频率作同步振动，即：,式中：,于是可求出该系统的动能和势能表达式：,将 和 的表达式代入,（,b,）、（,a,）,式，得,10/3/2024,3,东北大学设备诊断工程中心,当 时，系统处于平衡位置。势,能 ，动能 。,当 时，系统的动能等于零，势,能达极大值。此时系统达极端位置，但保守系,统总机械能是不变的。,10/3/2024,4,东北大学设备诊断工程中心,所以,因而得：,此式称为特征值和特征矢量关系式。,现在我们对某一系统的特征值问题一无所,知，我们考虑任意矢量 作为近似的特矢量代,入（,c,）,式，可得一近似的特征值。,式中的,R(x,),是一标量，它决定于矩阵 和,10/3/2024,5,东北大学设备诊断工程中心,矢量 。,一系统的矩阵是一定的，而矢量 是,任意的。因此对于给定系统的,R(x),仅取决于矢量,，标量,R(x),称为瑞利商。,显然，如果任意矢量 刚好与系统的特征矢,量之一相符，那么，瑞雷商等于对应的特征值。,此外，瑞利商还有如下一些性质：,1,）瑞利商在系统特征值矢量附近有驻值（或,叫稳定值）,为了阐明此性质，根据展开定理，将,任意矢量表示成系统特征矢量的线性结合，即：,10/3/2024,6,东北大学设备诊断工程中心,为模态矩阵，并已正则化，所以,将,(d),代入,(5-1),式右端，得,10/3/2024,7,东北大学设备诊断工程中心,如果试探矢量 与某一特征矢量 非常,接近，也就是说,(d),式中所有的 与 相,比都很少，或且,是一阶微量，,(f),式的分子和分母都,除以 ，于是：,10/3/2024,8,东北大学设备诊断工程中心,式中和括号里的每一项乘上因子 目的,是保证和号里的第 项为零。分子，分母相除,后舍去三阶以上的高阶微量而得右端表达式。,由（,5-2,）式可以看到，如矢量 对特征矢,量 的偏差是一阶微量，则瑞利商对特征值 的偏差是二阶微量，这说明瑞雷商在特征矢,量附近有驻值。,2,）瑞利商在一阶振型附近有一极小值。,如果我们令 ，则（,5-2,）式成为,10/3/2024,9,东北大学设备诊断工程中心,一般情况下：,于是，式中的等号有在全部 都,等于零时才成立，因此瑞利商绝不低于一阶特,征值，恰恰是一阶特征值为瑞利商的极小值，,应用它可得到系统的基频。,5-2,瑞利能量法,瑞雷法是无须解有关的特征值问题而能估,算出系统基频的方法之一。,10/3/2024,10,东北大学设备诊断工程中心,具体做法是先假定一个振型函数 ，计算,出系统以此振型作同步简谐振动时的最大势能,和参数改动能 ，然后将 和 ，代入,瑞雷商的分式中，即得估算的基频,假定的振型必须满足全部或部分边界条件,且要接近第一阶振型，的估计值与精确解的,接近程度取决于 ，与一阶振型 的接近成,度，而这取决于分析者的经验和技巧。,10/3/2024,11,东北大学设备诊断工程中心,例如：,均匀园截面轴的扭振,以 表示轴上,X,处的角位移,点在,X,处的扭矩表达式为：,10/3/2024,12,东北大学设备诊断工程中心,于是：长 的微之储存的弹性能为：,整根轴的势能为：,如果两端用扭转弹簧（扭转刚度 ）支,承，则系统的势能为：,10/3/2024,13,东北大学设备诊断工程中心,瑞雷法只能求出系统基频粗糙的近似值，且,估计值总是高于实的基频。,5,3,瑞雷,李兹法,瑞雷法的关键是振型函数的选择,如果假定,的振型接近一阶振型,则估算的频率是基频很好,的近似,但是一旦选好了振型函数，估算的频率,也就有了，我们无法估计其精确度如何。也无,法用调整使之更精确些。,瑞雷,李兹法的优点是能调整假定的振型，,使估算的一阶频率尽量降低，而且还能求出有,10/3/2024,14,东北大学设备诊断工程中心,限阶频率的估计值。,以杆的纵向振动为,例，非均匀杆每单位,长度的质量为 拉压,刚度 ，都是横座,标,X,的函数，右端有,集中质量,M,，,今用瑞利,李兹法算其头几阶频,率和振型。,将杆纵向振动的振型函数写成下面有限级,数的形式：,10/3/2024,15,东北大学设备诊断工程中心,(1),(2),如果做不到，应满足几何边界条件，叫容,许函数。,(3),必须彼此线性无关，但不同于特征函数，,它们无须满足系统的微分方程，但必须对自变量,X,必须可导，且导数的阶数至少等于出现在,中的阶数。,(4),式中 为待定常数，它们应选取多元函数,10/3/2024,16,东北大学设备诊断工程中心,瑞雷商，,取驻值,使商具有驻值的必要条件是：,以 表示对应于瑞雷商驻值的 值，并考虑到（,5-6,）（,5-7,）式，可写成：,10/3/2024,17,东北大学设备诊断工程中心,由代数方程组（,5-8,）解出,N,个特征值,（它们就是所求的前,N,阶频率平方的近似值），,和,N,个特征矢量代入（,5-5,）式，得对,应的,N,个振型函数,具体计算分如下几个步骤：,1,）指定式（,5-5,）中的类比函数或容许函数,2,）计算势能和参改动能，将其写成如下二次型,10/3/2024,18,东北大学设备诊断工程中心,以变截面集中质量为例。,1,：,势能,所以,10/3/2024,19,东北大学设备诊断工程中心,又,所以：,于是：（,5-6,）式中：,(3,）将（,5-10,）代入（,5-8,）得：,10/3/2024,20,东北大学设备诊断工程中心,写成矩阵的形式为：,4,）把（,5-12,）看成为,N,个自由度离散系统的特征值问题，得,N,个特征值和特征矢量，及对应的振型函数。,10/3/2024,21,东北大学设备诊断工程中心,瑞利法,李兹法的实质是把一个无限的自由,度系统离散化为,N,个自由度的系统，然后接多,自由度的方法和振型，求频率和振型。,10/3/2024,22,东北大学设备诊断工程中心,例,52,等直杆参数为，长为 ，左端固定，右端有一刚度,K,的弹簧支承，求杆纵向振动。前,2,阶频率和振型，设,解：（,1,）设：,10/3/2024,23,东北大学设备诊断工程中心,这是左端固定，右端自由等直杆纵向振动,的前两阶振型为本例的容许函数，并设,（,2,）,将代入,10/3/2024,24,东北大学设备诊断工程中心,又：,得：,（,3,）,10/3/2024,25,东北大学设备诊断工程中心,解特征值问题,于是得振型函数,10/3/2024,26,东北大学设备诊断工程中心,
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