132函数的极值(一)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2,函数的极值,(,一,),复习,:,利用函数的导数来研究,函数的单调性,其基本的步骤为,:,求函数的定义域,;,求函数的导数,;,解不等式,0,得,f(x,),的单调递增区间,;,解不等式,f(x,1,).,o,a,X,1,X,2,X,3,X,4,b,a,x,y,?,吗,极大值一定大于极小值,o,a,X,0,0,b,x,y,o,a,X,0,b,x,y,求可导函数,f(x,),的极值,一般地,当,函数,f(x,),在,x,0,处连续,时,判别,f(x,0,),是极大,(,小,),值的方法是,:,(1):,如果在,x,0,附近的左侧 右侧 那么,f(x,0,),是极大值,;,(2):,如果在,x,0,附近的左侧 右侧 那么,f(x,0,),是极小值,.,例,1:,求,y=x,3,/3,4x+4,的极值,.,解,:,令,解得,x,1,=-2,x,2,=2.,当,x,变化时,y,的变化情况如下表,:,x,(-,-2),-2,(-2,2),2,(2,+,),y,+,0,-,0,+,y,极大值,28/3,极小值,-4/3,因此,当,x=-2,时有极大值,并且,y,极大值,=28/3;,而,当,x=2,时有极小值,并且,y,极小值,=-4/3.,导数值为,0,的点一定是函数的极值点吗,?,要注意以下两点,:,(1),可导函数,的,极值点,一定是导数为,零,的点,导数为,零,的点,不,一定是该函数的,极值点,.,例如,函数,y=x,3,在点,x=0,处的导数为零,但它不是极值点,总结,:,求,可导函数,f(x,),的极值的步骤如下,:,(2).,求导数,(3).,求方程 的根,.,(4),检查 在方程根左右的值的符号,如果,左正右负,那么,f(x,),在这个根处取得极,大,值,;,(1),求函数的定义域,例、,(-,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,+),f,/,(x,),f(x,),0,0,0,-,-,+,+,减,减,增,增,1,0,1,导数为零的点不一定是极值点！,方程 的根为,解：,x=-1,x=0,x=1;,当,x=0,是函数极小值点,y=0.,1.,用导数来确定函数的极值步骤：,（,1,）,先求函数的导数,f,/,(x),；,（,2,）,再求方程,f,/,(x)=0,的根；,（,3,）,列出导函数值符号变化规律表；,（,4,）利用从,+,、,0,、,-,判断函数极大值；,利用从,-,、,0,、,+,判断函数极小值；,(-,a),a,（,a,b,）,b,(b,+),f,(x,),符号,f(x),增函数,+,+,-,0,0,增函数,减函数,极大值,极小值,四、本课总结,:,渐入佳境篇,探索,:,x,=0,是否为函数,f,(,x,)=,x,3,的极值点,?,x,y,O,f,(,x,),x,3,若寻找可导,函数,极值点,可否只由,f,(,x,),=,0,求得即可,?,f,(,x,),=3,x,2,当,f,(,x,),=0,时，,x,=0,，而,x,=0,不是,该函数的极值点,.,f,(,x,0,),=0,x,0,是可导函数,f,(,x,),的极值点,x,0,左右侧导数异号,x,0,是函数,f(x),的极值点,f,(x,0,),=0,课题：,导数的应用,极值点,我行 我能 我要成功 我能成功,注意：,f,/,(,x,0,)=0,是函数取得极值的必要不充分条件,案例分析,课题：,导数的应用,极值点,我行 我能 我要成功 我能成功,函数 在 时有极值,10,，则,a,，,b,的值为（）,A,、或,B,、或,C,、,D,、,以上都不对,，,解,:,由题设条件得：,解之得,通过验证，都合要求，故应选择,A,。,注意：,f,/,(,x,0,)=0,是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,庖丁解牛篇,(,感受高考,）,课题：,导数的应用,极值点,我行 我能 我要成功 我能成功,（,2006,年天津卷,),函数,的定义域为开区间,导函数 在 内的图像如图所示，则函数,在开区间 内有（）个极小值点。,A,.,1,B,.,2,C,.,3,D.,4,A,f,(,x,),0,f,(,x,),=0,注意：,数形结合以及原函数与导函数图像的区别,课题：,导数的应用,极值点,我行 我能 我要成功 我能成功,2.(,2006,年,北京卷,),已知函数,在点,处取得极大值,5,其导函数 的图像,(,如图,),过点（,1,0,）,（,2,0,）,求：,（,1,）的值；（,2,）,a,b,c,的值；,.,庖丁解牛篇,(,感受高考,）,略解：,(1),由图像可知：,(2),注意：,数形结合以及函数与方程思想的应用,练习,:,求函数,(-2x0).,当,x,变化时,f(x,),的变化情况如下表,:,x,(-,-a),-a,(-a,0),(0,a),a,(a,+,),f(x,),+,0,-,-,0,+,f(x,),极大值,-2a,极小值,2a,故当,x=-a,时,f(x,),有极大值,f(-a)=-2a;,当,x=a,时,f(x,),有极小值,f(a,)=2a.,说明,:,本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念,.,2.,函数的极值注意事项：,(4),可导函数的极值点一定是使导函数为,0,的点,;,(2),函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值,不唯一,!,(3),极大值不一定比极小值大,!,(1),导数为零的点不一定是极值点！,2.,函数的极值注意事项：,(4),函数的不可导点也可能是极值点,;,(5),可导函数的极值点一定是使导函数为,0,的点,;,(2),函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值,不唯一,!,(3),极大值不一定比极小值大,!,(1),导数为零的点不一定是极值点！,要注意以下两点,:,(2),不可导点也可能是极值点,.,例如函数,y=|x|,它在点,x=0,处不可导,但,x=0,是函数的极,小值点,.,(1),可导函数,的,极值点,一定是导数为,零,的点,导数为,零,的点,不,一定是该函数的,极值点,.,例如,函数,y=x,3,在点,x=0,处的导数为零,但它不是极值点,