教育专题：双曲线的定义的应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1,双曲线的定义的应用,2,双曲线的定义,平面内与两个定点,F,1,、,F,2,距离之差的绝对值是常数,2a(|F,1,F,2,|2a),的点的轨迹。,本定义中如果去掉,“,绝对值,”,三字，则符合条件的点的轨迹就是双曲线的一支。,本定义中如果这个常数,2a,等于两定点的距离,2c,，则符合条件的点的轨迹就是以这两定点,F,1,、,F,2,为端点的向外的两条射线。,本定义中如果常数,2a,大于两定点的距离,2c,，则符合条件的点的轨迹不存在。,第一定义,3,双曲线的定义,平面内到一个定点与到一条定直线的距离的比是一个大于,1,的常数的点的点,本定义中的定点，不能在定义中的定直线上，否则符合条件的点的轨迹就不存在。,本定义中的两个距离的比是到点的距离作分子，到线的距离作分母。,本定义中的距离比是大于,1,，若小于,1,表示椭圆，若等于,1,，其轨迹是抛物线。,第二定义,4,定义小结,双曲线的两种定义，,第一定义体现了“质的区别,”,，,第二定义体现了,“,形,”,的统一，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性,双曲线的定义是双曲线这一节的基础，对这一定义有必要深刻第理解与把握，在此探讨双曲线定义的综合应用,5,一、在求轨迹方程中的应用,例,1,：若动圆过定点,A(-3,，,0),，且和定圆,B,：,(x-3),2,+y,2,=4,外切，求动圆圆心,P,的轨迹方程。,分析：由已知条件，动圆圆心到点,A,的距离是这个动圆的半径（一个变量），到已知定圆圆心的距离是两圆的半径和（一个变量与一个常量的和），由此可见，这两距离的差是一个常数，基本符合双曲线的定义，可从定义入手解决这个问题。,6,解,设动圆半径为,r,，则动圆圆心,P,到点,A,的距离为,|PA|=r,到定圆圆心,B,的距离为,|PB|=2+r(,两圆外切,),所以：,|PB|-|PA|=2,P,到,B,点距离大于到,A,点距离,|,AB|=62,点,P,的轨迹是以点,A,、,B,为焦点的双曲线,的左支,(|,PB|PA|),2a=2,，,2c=6,b,2,=8,，,a,2,=1,根据双曲线的定义，写出动圆圆心的轨迹方程为：,7,一、在求轨迹方程中的应用,例,2,：如图,2,，,F,1,、,F,2,为双曲线 的两焦点，,P,为其上一动点，从,F,1,向,F,1,PF,2,的平分线作垂线，垂足为,M,，求,M,点的轨迹方程。,解析：不妨设,P,点在双曲线的右支上，延长,F,1,M,交,PF,2,的延长线于,N,，则：,|PF,1,|=|PN|=|PF,2,|+|F,2,N|,即,:,|,F,2,N|=|PF,1,|-|PF,2,|=2a,在,F,1,NF,2,中，,|OM|=|F,2,N|=a,故点,M,的轨迹方程为,x,2,y,2,a,2,8,二、利用定义判定某些位置关系,例,3,：设,C,是经过双曲线 的右焦点,F,2,的直线，且和双曲线右支交于,A,、,B,两点，则以,AB,为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？,解：如图：分别过,A,、,B,及圆心作双曲线右准线,l,1,的垂线，垂足分别为,A,B,M,则：,（其中,e,为双曲线的离心率，,R,为圆的半径）,故有两个交点,9,10,三、利用定义求最值,例,4,：如图，,F,1,、,F,2,是双曲线 的左右交点，,M(6,6),为双曲线内部的一点，,P,为双曲线右支上的点，求：,分析,(1),：和式,“,|PM|+|PF,2,|,”,与双曲线第一定义区别，是否可设法转为,“,差,”,呢？,分析,(2),：关键在于处理,1/2|PF,2,|,的系数，于是联想到,e,2,，可用第二定义转化。,1.|PM|,|PF,2,|,的最小值,2.|PM|,|PF,2,|,的最小值,11,略解,作,MN,l,于,N,点,|PM|+PH|MN,而右准线为,l,：,x,12,四、利用定义解决实际应用问题,例,5,：如图：某村在,P,处有一个肥堆，今要把这堆肥沿道路,PA,或,PB,送到农田,ABCD(,为矩形,),中去，若,PA,100,米，,PB,150,米，,BC,60,米，,APB,60,，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路,PA,送肥较近，而另一侧沿道路,PB,送肥较近，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出此曲线方程。,P,A,D,C,B,13,分析：,这是一个圆锥曲线的应用问题，根据问题的条件直观的分析，在点,A,附近的点从,PA,方向运肥较近，在点,B,附近的点从,PB,方向运肥较近，所以说在平面上一定存在一条曲线，使曲线上任意一点从两个不同方向运肥路途相同。,14,解,设矩形,ABCD,中有一曲线，在此曲线上的任意一点,M,，从两个不同方向运肥路途相同，即：,|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,|PB|-|PA|=50,|MA-|MB|=|PB|-|PA|=50,为一个定值,故点,M,的轨迹是以点,A,、,B,为焦点，实轴长为,50,的双曲线的右支在矩形,ABCD,中的部分：,b,2,3750,设,AB,所在直线为,x,轴，其中垂线为,y,轴，建立坐标系，故所求方程为：,15,作业,1.,动圆经过点,A(4,0),，且与定圆,(x,4),2,+y,2,=16,内切，求动圆的圆心轨迹方程。,2.,已知双曲线 的左右焦点分别为,F,1,、,F,2,，左准线为,l,，若在双曲线的左支上有一点,P,，使,|PF,1,|,是点,P,到直线,l,的距离,d,与,|PF,2,|,的比例中项，求双曲线离心率,e,的取值范围。,16,再见！,10/3/2024,17,