第三章 空间力系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 空间力系,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,(,a,),图为空间汇交力系；,(,b,),图为空间任意力系；,(,b,),图中去了风力为空间平行力系。,迎 面风 力,侧 面风 力,b,第三章 空间力系,31,空间汇交力系,32,力对点的矩与力对轴的矩,33,空间力偶系,34,空间任意力系向一点的简化,35,空间任意力系简化结果的讨论,36,空间任意力系的平衡方程及应用,37,重心,直接投影法,1,、力在直角坐标轴上的投影,31,空间汇交力系,间接（二次）投影法,合矢量（力）投影定理,空间汇交力系的合力,2,、空间汇交力系的合力与平衡条件,合力的大小,方向余弦,空间汇交力系平衡的充分必要条件是：,称为空间汇交力系的平衡方程,.,该力系的合力等于零，即,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点,.,空间汇交力系平衡的,充要条件,：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零,.,例题,力,F,作用在正六面的对角线上，如图所示，若正六面体的边长为,a,.,计算力,F,在,x, y, z,轴上的投影,.,解,例,1,已知：物重,P,=,10,kN,，,CE=EB=DE,；,求：杆受力及绳拉力,解：画受力图，列平,衡方程,1,、力对点的矩,-,力矩矢,矩心,在三维坐标系中，将力对点的矩用矢量来表示,:,若矢径为,r,力对点的矩,-,定位矢量,（,3,）作用面：力矩作用面,.,（,2,）方向,:,转动方向,(1,）大小,:,力,F,与力臂的乘积,三要素：,32,力对点的矩和力对轴的矩,力对点,O,的矩在三个坐标轴上的投影为,矩心,2.,力对轴的矩,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零,.,合力矩定理,任意一个力系的合力对于任意一点（任意的轴）的矩等于力系中各力对同一点（或轴）的力矩的矢量和,(,或代数和,).,力对轴的矩的解析式,3,力对点的矩和力对轴的矩的关系,3,力对点的矩和力对轴的矩的关系,力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于此力对该轴之矩。,例题,AB,=,a BC = b CD = c DO=d,计算力,F,对轴,x, y, z,的矩,解,力偶矩矢,对于空间力偶，除了考虑其大小和转向，还必须考虑其作用平面，因此，通过矢量的方式来表示空间力偶,可以通过右手定则来决定力偶矩矢的矢量方向,.,力偶矩矢是一个自由矢量,.,转向,力偶矩矢,4,3,空间力偶,1,、力偶矩以矢量表示力偶矩矢,空间力偶的三要素,（,1,） 大小：力与力偶臂的乘积；,（,3,） 作用面：力偶作用面。,（,2,） 方向：转动方向；,2,、力偶的性质,（,2,）力偶对任意点取矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而改变。,(1,）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,.,空间力偶等效定理,作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则他们彼此等效。,（,3,）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变,.,=,=,=,（,4,）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变,.,=,=,=,=,(5),力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡,.,力偶矩矢是自由矢量,自由矢量：与初端位置无关的矢量，比如：力偶矩矢,滑移矢量：可以沿着作用线方向移动的矢量，比如：力,定位矢量：始端不可任意挪动的矢量，比如：力矩矢,=,=,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和,.,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩,=,分力偶矩的矢量和,3,力偶系的合成与平衡条件,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡,方程,.,空间力偶系平衡的充分必要条件是,:,合力偶矩矢等于零，即,例：已知：在工件四个面上同时钻,5,个孔，每个孔所受切削力偶矩均为,80,Nm.,求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影,解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点,A,.,求,:,轴承,A,B,处的约束力,.,例：,已知：两圆盘半径均为,200,mm,，,AB,=800mm,，,圆盘面,O,1,垂直于,z,轴，圆盘面,O,2,垂直于,x,轴，两盘面上作用有力,偶，,F,1,=3N,，,F,2,=5N,，,构件自重不计,.,解：取整体，受力图如图所示,.,1.,空间力的平移,附加力偶矩矢,d,34,空间任意力系向一点的简化,主矢和主矩,2.,空间力系的简化,点,O,：空间中,任意选择,的简化中心,将,F,1,平移到点,O,将空间中的其他力平移到点,O,:,2.,空间力系的简化,主矢,F,R,主矩,M,O,主矢与简化中心的选择无关,主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。,2.,空间力系的简化,2.,空间力系的简化,由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有,有效推进力,飞机向前飞行,有效升力,飞机上升,侧向力,飞机侧移,滚转力矩,飞机绕,x,轴滚转,偏航力矩,飞机转弯,俯仰力矩,飞机仰头,3.,简化结果分析,3.,简化结果分析,力螺旋,3.,简化结果分析,力螺旋,Prof, Wang JX,题,3,如图所示，正六面体的边长等于,100mm,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,将该力系向,A,点简化，并分析简化结果。,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,以点,A,为简化中心,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,简化结果是一个力螺旋,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以,空间任意力系的平衡方程,为：,还有四矩式，五矩式和六矩式，,3-5,空间任意力系的平衡方程及应用,空间汇交力系的平衡方程为：,因为各力线都汇交于一点，各轴都通过,该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都,/,z,轴。,因为,均成为了恒等式。,二、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为约束力，阻碍转动为约束力偶。,例,已知：,P,=,8,kN,各尺寸如图,求：,A,、,B,、,C,处约束力,解：研究对象：小车,列平衡方程,例,已知：,各尺寸如图,求：,及,A,、,B,处约束力,解：研究对象,，,曲轴,列平衡方程,例,已知：,各尺寸如图,求：,（,2,）,A,、,B,处约束力,（,3,）,O,处约束力,(1),解：研究对象,1,：主轴及工件，受力图如图,又：,研究对象,2,：工件受力图如图,列平衡方程,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点,C,就是此,空间平行力系的中心,。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,3-6,重心,一、空间平行力系的中心、物体的重心,如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，,(,n,-,),，,常用积分法求物体的重心位置。,二、重心坐标公式,：,设,i,表示第,i,个小部分每单位体积的重量,，,V,i,第,i,个小体积，则,代入上式并取极限，可得：,式中 ，上式为,重心,C,坐标的精确公式,。,对于均质物体，,=,恒量，上式成为：,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与,y,轴平行，再应用合力矩定理对,x,轴取矩得：,综合上述得,重心坐标公式,为：,若以,P,i,= ,m,i,g,P,=,Mg,代入上式可得质心公式,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,解,：由于对称关系，该圆弧重心必在,Ox,轴，即,y,C,=0,。,取微段,下面用积分法,求物体的重心实例,：,例,求半径为,R,，,顶角为,2,的均质圆弧的重心。,O,三、重心的求法,：,组合法,解,：,求：该组合体的重心？,已知：,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法：,悬挂法,称重法,凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。,对称法：,求：该截面的重心位置。,解,：,(1),组合法,:,将该截面分割为三部分，,取,Oxy,直角坐标系，如图。,解,：,(2),负面积法,:,